江苏省南京市第二十七高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 5 x + 6)$ 的定义域为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 2) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 6)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (6 ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - x ， x > 0 \\ 2^{- x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 1)] =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{8}$ C、4 D、 $\frac{3}{2}$

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5. 若函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上为单调减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 2$ B、 $a \leq - 2$ C、 $a > 1$ D、 $a \geq 1$

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6. 函数 $f (x) = l n x - 1$ 的零点为（）

A、 $e$ B、2 C、 $(e ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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7. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2}$

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8. 若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则（）

A、 $a^{c} < b^{c}$ B、 $c^{a} > c^{b}$ C、 $l o g_{c} a > l o g_{c} b$ D、 $l o g_{a} c > l o g_{b} c$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x^{2} - 2 x} ， x \leq 2 \\ l o g_{3} (x^{2} - 2 x) ， x > 2 \end{array}$ ，且 $f (a) = 1$ ，则实数 $a$ 的值可能为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、3

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10. 下列命题中，是真命题的有（）

A、“ $f (0) = 0$ ”是“函数 $f (x)$ 为奇函数”的必要不充分条件； B、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件； C、“ $x < 2$ ”是“ $\frac{1}{x} > 2$ ”的充要条件 D、“ $l g a > l g b$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件．

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11. 若幂函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则下列命题中，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 为偶函数 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为减函数 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为增函数

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x^{2} - 2 x}$ ，则下列命题中，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ ； B、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[1 ， + \infty)$ ； C、方程 $f (x) = 4$ 有两个不同的实数解； D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称．

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若 $0 \in {m ， m^{2} - 2 m}$ 则实数 $m$ 的值为.

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14. 将函数 $y = 2^{2 x + 1}$ 的图象向右平移1个单位，可得到函数的图象．

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15. 若 $3^{x} = 4^{y} = t (x ， y > 0)$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4$ ，则实数 $t$ 的值为．

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16. 函数 $f (x) = x^{2} + | l g x | - 4$ 有个零点．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 若不等式 $x^{2} - 4 x < 0$ 的解集为A ， $\frac{2}{x + 1} > \frac{1}{2}$ 的解集为B ．

(1)、求集合A和B（用区间表示）；

(2)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ．

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18. 计算：

(1)、 ${(\frac{3}{5})}^{0} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{2}{3}} \times {(\frac{9}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $2 l o g_{3} 2 - l o g_{3} \frac{32}{9} + l o g_{3} 8 - 5^{l o g_{5} 3}$ ．

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19. 解下列不等式：

(1)、 $l o g_{3} (2 x - 1) < 2$ ；

(2)、 $4^{x} + 2 \times 2^{x - 1} - 2 > 0$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - 2 x + c ， x \geq 0 \\ - x^{2} + b x ， x < 0 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x) > x$ 的解集.

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21. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ．

(1)、当 $x$ ， $y$ 取何值时， $x y$ 有最大值？

(2)、若 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 3^{a}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 若增函数 $f (x)$ 对任意 $x$ ， $y ∈ R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ， $f (x) > 0$ 恒成立．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (\frac{1}{2})$ ， $f (- 1)$ ；

(2)、求方程 $f (\frac{2}{l g x}) = \frac{1}{f (l g x - 3)}$ 的解集；

(3)、求不等式 $f (x^{2}) \cdot f (x + 1) < 8$ 的解集.

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

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