湖南省娄底市双峰县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程一定是一元二次方程的是（　　）

A、 $3 x^{2} + \frac{2}{x} - 1 = 0$ B、5x²﹣6y﹣3＝0 C、ax²﹣x+2＝0 D、（a²+1）x²+bx+c＝0

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2. 已知在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E ，过点E作AB的平行线交BC于点F ．则下列说法不正确的是（　　）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{A C}$ C、 $\frac{B F}{B C} = \frac{A D}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{B F}{F C}$

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3. 三角形的面积为12cm² ，这时底边上的高ycm底边xcm之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ ﹣1或3- $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ ﹣2

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5. 用配方法解一元二次方程2x²﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）

A、 $(x - \frac{3}{2})^{2} = \frac{13}{4}$ B、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{2}$ C、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{17}{16}$ D、 $(x - \frac{3}{2})^{2} = \frac{11}{4}$

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6. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝ $\frac{m}{x}$ （m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞ $\frac{m}{x}$ 的解集为（　　）

A、x＞﹣2 B、﹣2＜x＜0或x＞1 C、x＞1 D、x＜﹣2或0＜x＜1

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7. 如图， $D ， E$ 是 $△ A B C$ 边 $A B ， A C$ 边上的两点，且 $D E ∥ B C$ ，若 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C} = 1 ： 16$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长之比为（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 5$ D、 $1 ： 16$

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8. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540m² ，道路宽度为x m ，则题中涉及的等量关系式为（　　）

A、（32﹣x）（20﹣x）＝540 B、（x﹣32）（20﹣x）＝540 C、（x﹣32）（x﹣20）＝540 D、（32×24）﹣（32x+20x）＝540

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝﹣ $\frac{4}{x}$ （x＜0）的图象上，点B在函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，若AO＝2BO ， ∠AOB＝90°，则k的值为（　　）

A、1 B、2 C、1.5 D、0.25

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如果 $\frac{a - b}{a} = \frac{1}{3}$ ，那么 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于．

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12. 已知x₁、x₂是一元二次方程x²﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值是．

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13. 如图，在△ABC中，D为边AC上的点，连接BD ，添加一个条件：，可以使得△ADB∽△ABC ．（只需写出一个）

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14. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x²+3x+m²﹣1=0的一根为0，则m的值是．

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15. 反比例函数 $y = \frac{3 - m}{x}$ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是.

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16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D ，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，若BC=6cm ， AD=4cm ，则正方形EFGH的边长是cm ．

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三、计算题（每小题6分，共18分）

17. 解方程：

(1)、x²﹣6x+9＝（5﹣2x）²；

(2)、2（x﹣2）＝x²﹣4．

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18. 已知某品牌显示器的寿命大约为2×10⁴小时．

(1)、这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？

(2)、如果平均每天工作10小时，则这种显示器大约可使用多长时间？

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19. 已知关于x的方程x²+ax+a﹣2＝0．

(1)、若该方程的一个根为1，求a的值；

(2)、若a的值为3时，请解这个方程．

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四、解答题（每小题8分，共16分）

20. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC ， AE∥DF ， $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{2}$ ， BF＝6cm ，求EF和FC的长．

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21. 已知反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 与一次函数y＝kx+b（k≠0）交于点A（﹣1，6）、B（n ， 2）．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、若点A关于y轴的对称点为A′，连接AA′，BA′，求△AA′B的面积．

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五、解答题（每小题9分，共18分）

22. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．

(1)、以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A₁B₁C₁ ，使△ABC与△A₁B₁C₁位似，并且点A₁的坐标为（8，﹣6）．

(2)、△ABC与△A₁B₁C₁的位似比是．

(3)、△A₁B₁C₁的面积是．

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23. “阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在双峰县城南郊区李大叔承包了一个葡萄园，种植了大量“阳光玫瑰葡萄”，县城某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，李大叔批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤．若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．

(1)、若降价2元，则每天的销售利润是多少元？

(2)、若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）

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六、综合题（每小题10分，共20分）

24. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m＝0．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为x₁、x₂ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ﹣x₁x₂＝27，求m的值．

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25. 如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG ，连接AG ， CE ．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

(1)、如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H ，求GH的长．

(2)、如图3，延长CE交直线AG于点P ．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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