海南省2023-2024学年高三上学期高考全真模拟（五）（1月）数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $A = {x ∣ 2 ⩽ x ⩽ 4} ， B = {2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 $[2 ， 4]$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${2 ， 4 ， 6}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = | 3 - 4 i | ， z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 某饮料厂生产A ， B两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（）

A、600瓶 B、750瓶 C、800瓶 D、900瓶

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - x^{2} ， x \geq 0 ， \\ a x^{3} + x^{2} ， x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $f (a) =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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5. 已知 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点， $A (0 ， b) ， B$ 为 $C$ 的右焦点，若 $\vec{A P} = \vec{P B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (a x^{2} - 4 x + 1) (a > 0 ， a \neq 1)$ 在 $(1 ， + ∞)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + ∞)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[3 ， + ∞)$ D、 $[4 ， + ∞)$

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7. 函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) + t a n \frac{π}{12} s i n (x - \frac{π}{4})$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = (- 1)^{n} + c o s \frac{n π}{3}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $- 4^{337}$ B、 $4^{337}$ C、 $\frac{1}{4^{337}}$ D、 $- \frac{1}{4^{337}}$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 在正三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、正三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $3 \sqrt{3}$ B、三棱锥 $B_{1} - A_{1} B C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $6 0^{∘}$ D、点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{C_{6}^{k} C_{4}^{4 - k}}{C_{10}^{4}} ， k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 2) = \frac{3}{7}$ B、 $E (X) = \frac{12}{5}$ C、甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数 $X$ 满足此分布列 D、一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数 $X$ 满足此分布列

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $M ， | M F | = 2$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、直线 $M A$ 和 $M B$ 的斜率之和为0 C、 $△ M A B$ 内切圆圆心不可能在 $x$ 轴上 D、当直线 $A B$ 的斜率为1时， $| A B | = 8$

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12. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 分别为函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - (a + 1) x + a l n x$ 的极大值点和极小值点，且 $x_{1} < 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 B、 $a \in (0 ， 1) \cup (1 ， + ∞)$ C、 $f (x_{2}) \in (- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$ D、 $f (x_{1}) \in (- \frac{1}{2} ， 0)$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 写出一个圆心在 $x$ 轴上，且与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 相切的圆的标准方程：.

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14. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为平面向量， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\vec{b}}{2}$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ .

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15. 已知圆锥 $S O$ 的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为 $\sqrt{3} ， A B$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $C$ 为圆 $O$ 上的一个动点（不与 $A ， B$ 重合），则三棱锥 $S - A B C$ 的外接球表面积为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，点 $A ， B$ 在函数 $f (x)$ 的图象上， $P$ 为曲线 $y = f (x)$ 与 $y$ 轴的交点，若 $P A ⊥ P B$ ，则 $f (\sqrt{3}) =$ .

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S ， 2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为20，面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、若 $a_{1} a_{2} a_{3} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，证明： $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + 1} < \frac{5}{6}$ .

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19. 红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径 $x_{i}$ （单位：厘米），如下表：
$i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$x_{i}$
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
计算得： $\sum_{i = 1}^{12} x_{i} = 360 ， \sum_{i = 1}^{12} x_{i}^{2} = 10992$ .

(1)、求这12棵红松树的树干直径的样本均值 $μ$ 与样本方差 $s^{2}$ .

(2)、假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件 $A$ ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间 $[22 ， 38]$ .
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求 $P (A)$ ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布 $N (30 ， 8^{2})$ .在这个条件下，求 $P (A)$ ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若 $Y \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| Y - μ | ⩽ σ) \approx 0.6827 ， P (| Y - μ | ⩽ 2 σ) \approx 0.9545 ， P (| Y - μ | ⩽ 3 σ) \approx 0.9973$ .
参考数据： $0.682 7^{12} \approx 0.01 ， 0.954 5^{12} \approx 0.57 ， 0.997 3^{12} \approx 0.97$ .

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x - 1} - 3 l n x + a x^{2} - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 有唯一极值点.

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21. 如图，多面体 $P S - A B C D$ 由正四棱锥 $P - A B C D$ 和正四面体 $S - P B C$ 组合而成.

(1)、证明： $P S$ $∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求 $A S$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下顶点分别为 $A ， B$ ，短轴长为 $2 ， P$ 在 $C$ 上（不与 $A ， B$ 重合），且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $P A ， P B$ 分别交直线 $y = 2$ 于 $D ， E$ 两点，连接 $D B$ 交 $C$ 于另一点 $M$ ，证明：直线 $M E$ 过定点.

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$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x_{i}$	28.7	27.2	31.5	35.8	24.3	33.5	36.3	26.7	28.9	27.4	25.2	34.5