四川省绵阳市南山中名校2024届高三上学期“二诊”模拟数学（文）试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，集合 $B = {y | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- ∞ ， 2)$ B、 $(- ∞ ， 2]$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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2. 已知复数z满足 $(1 - i) \cdot z = | 1 + \sqrt{3} i |$ (i是虚数单位)，则复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $- i$ D、 $- 1$

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3. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{5}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$

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4. 若P ， Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、 $\frac{29}{10}$ D、 $\frac{29}{5}$

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5. 2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）

A、猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小. B、这7种食品价格同比涨幅的平均值超过 $7 %$ C、去年11月鲜菜价格要比今年11月低 D、猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

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6. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 单调递增，且 $f (4) = 0$ ，则满足不等式 $x \cdot f (x - 1) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(- 3 ， 0) ∪ (1 ， 5)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， 5)$

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7. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + 4 \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{3} - a_{1} = \frac{3}{4}$ ， $S_{4} = - \frac{15}{8}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $- \frac{9}{32}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{9}{32}$ 或 $- \frac{1}{2}$ D、－3或 $- \frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + 1$ 在 $x = 1$ 处有极小值，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、 $- 1$ 或3

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10. 若点 $A$ 在焦点为 $F$ 的抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且 $| A F | = 2$ ，点 $P$ 为直线 $x = - 1$ 上的动点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{5}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、4

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，图象与 $x$ 轴的交点为 $M (\frac{5}{2} ， 0)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $N$ ，最高点 $P (1 ， A)$ ，且满足 $N M ⊥ N P$ ．若将 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为 $g (x)$ ，则 $g (- 1) =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、0 C、 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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12. 已知函数 $y = a - 2 l n x ， (\frac{1}{e} \leq x \leq e)$ 的图象上存在点 $M$ ，函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象上存在点 $N$ ，且 $M$ ， $N$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - e^{2} ， - 2]$ B、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， + \infty]$ C、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， - 2]$ D、 $[1 - e^{2} ， - 3 - \frac{1}{e^{2}}]$

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设 $α$ 是第二象限角， $P (x ， 1)$ 为其终边上一点，且 $c o s α = \frac{1}{3} x$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 为美化校园，创建读书角，同学将莫言的 $3$ 部作品《红高粱》《酒国》《蛙》随机地排在书架上，《蛙》恰好放在三本书中间的概率是.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- t ， 0) (t > 0)$ ， $B (t ， 0)$ ，点 $C$ 满足 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 8$ ，且点 $C$ 到直线 $l ： 3 x - 4 y + 24 = 0$ 的最小距离为 $\frac{9}{5}$ ，则实数 $t$ 的值是．

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16. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为R ， r ，当 $R = 3 r$ 时，椭圆的离心率为．

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三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (c o s (A - B) ， s i n (A - B))$ ， $\vec{n} = (c o s B ， - s i n B)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某面包店记录了最近一周A口味的面包的销售情况，如下表所示：
A口味
星期
一
二
三
四
五
六
日
销量/个
16
12
14
10
18
19
13

(1)、求最近一周A口味的面包日销量的中位数．

(2)、该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从 $n = 14 ， 15$ 中选一个，你应该选择哪一个？说明你的理由．

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19. 已知各项都是正数的数列 ${a_{n}}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n}^{2} = 2 S_{n} - a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记 $P_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和， $Q_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{a_{2^{n - 1}}}}$ 的前 $n$ 项和.当 $n \geq 2$ 时，试比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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20. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - \ln x - 1$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $m \in (1 ， + \infty)$ ，求证： $f (x) > 1$ .

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，M为直线 $l ： y = - 1$ 上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.

(1)、当M的坐标为(0，-1)时，求过M，A，B三点的圆的方程；

(2)、证明：以 $A B$ 为直径的圆恒过点M.

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22. 数学中有许多美丽的曲线，例如曲线 $E ： {\begin{array}{l} x = s i n 2 t \\ y = c o s t \end{array}$ ，（t为参数）的形状如数字8（如图），动点A ， B都在曲线E上，对应参数分别为 $t = α$ 与 $t = \frac{π}{2} - α (0 < α < 2 π)$ ，设O为坐标原点， $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ．

(1)、求C的轨迹的参数方程；

(2)、求C到坐标原点的距离d的最大值和最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 4 x + a | - | 4 x + a^{2} |$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) + \frac{1}{2} x < 1$ 的解集；

(2)、若 $\exists x \in R$ ， $\exists a \in [0 ， 2]$ ，使得 $f (\frac{1}{2} x) > m$ 能成立，求实数m的取值范围．

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星期	一	二	三	四	五	六	日
销量/个	16	12	14	10	18	19	13