西藏自治区拉萨市2023-2024学年高三上学期12月第一次模拟考试理科数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = {- 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， ∁_{U} A = {- 1 ， 9} ， B = {3 ， 7 ， 9}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${3 ， 7}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${3}$ D、 ${9}$

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2. 已知复数 $2 + i (1 - a + a i)$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(2 ， 0) ， (- 2 ， 0)$ B、 $(0 ， 2) ， (0 ， - 2)$ C、 $(\sqrt{10} ， 0) ， (- \sqrt{10} ， 0)$ D、 $(0 ， \sqrt{10}) ， (0 ， - \sqrt{10})$

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4. 将函数 $f (x) = 2 s i n (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到偶函数 $g (x)$ 的图象，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{4^{- x} - 4^{x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| M F | = 4 ， O$ 为坐标原点，则 $| O M | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、5

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7. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{x^{3}})}^{5}$ 的展开式中的第3项为（）

A、160 B、 $- 80 x$ C、 $\frac{80}{x^{3}}$ D、 $- \frac{40}{x^{7}}$

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8. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 8 x - 3 y + 3 \geq 0 ， \\ 5 x + 2 y - 4 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = \frac{y}{x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为 $\sqrt{2}$ ，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $(4 + 2 \sqrt{2}) π$ D、 $(1 + \sqrt{2}) π$

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10. $(1 - t a n 100 °) (1 - t a n 35 °)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“距”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具．有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如左图，矩的较长边为 $10 c m$ ，较短边为 $5 c m$ ，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形 $A B C D$ 的顶点都在圆周上，如右图，若 $A C ⊥ C D ， s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3} c m$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2} c m$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{2} c m$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{3} c m$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (2 - x) = f (2 + x) ， f (5) = 2$ ，且 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 2]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则不等式 $f (x) + 4 x + 3 > x^{2}$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 1$ ，或 $x > 5}$ B、 ${x | - 1 < x < 5}$ C、 ${x | x < - 5$ ，或 $x > 5}$ D、 ${x | - 5 < x < 5}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $x ， y \in R$ ，空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， x) ， \vec{b} = (4 ， y ， - 1)$ ．若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $2 x + y =$ ．

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14. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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15. 如果两个球的表面积之比为 $4 ： 9$ ，那么两个球的体积之比为．

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16. 已知函数 $f (x) = (x - a) [x^{2} - (b - 1) x - b]$ ，函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点关于 $y$ 轴对称，当 $a = b$ 时，函数 $f (x) =$ ；当函数 $f (x)$ 有三个零点时，函数 $f (x)$ 的极大值为．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{3} = 15 ， a_{4} + a_{5} = 20$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2．

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ∥$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值．

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19. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．

(1)、求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；

(2)、记选取的3个科技企业中BAT中的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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20. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ，左焦点为 $F$ ．且 $B ， F$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上．

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $E$ 交于 $P ， Q$ 两点，且点 $A (- 1 ， 1)$ 为 $P Q$ 中点，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 1) l n x - x^{2} - a x ， f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f^{'} (x)$ 的最小值；

(2)、若方程 $f (x) = a x e^{2 a x} - x^{2}$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 t + 1 ， \\ y = 2 t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），以左边原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ s i n θ + 3 = 0$ ．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、过直线 $l$ 上一点 $A$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $B$ ，求 $| A B |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 3 | + | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 7$ 的解集；

(2)、证明： $\forall m > 1 ， \exists x \in R$ ，使得 $f (x) = \frac{4}{m - 1} + m$ ．

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