陕西省咸阳市2023-2024学年高三上学期1月高考分科调研模拟测试(二)理科数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = m^{2} - 7 m + 6 + (m^{2} - 36) i$ 是纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、±6 B、1或6 C、-6 D、1

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2. 已知集合 $A = {x ∣ \sqrt{x + 1} < 3} ， B = {x ∣ x = 3 k - 1 ， k \in N^{*}}$ ，若 $C = A \cap B$ ，则 $C$ 的子集有（）

A、3个 B、4个 C、7个 D、8个

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3. 下列命题中，真命题是（）

A、“ $a > 1 ， b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”的必要条件 B、 $\forall x > 0 ， e^{x} > 2^{x}$ C、 $\forall x > 0 ， 2^{x} ⩾ x^{2}$ D、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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4. 小张分别在A ， B两个地块培育同一种树苗5棵，一周后观察它们的高度如图所示，则（）

A、B地块树苗高度的众数小于A地块树苗高度的众数 B、B地块树苗高度的方差等于A地块树苗高度的方差 C、B地块树苗高度的平均值大于A地块树苗高度的平均值 D、B地块树苗高度的中位数等于A地块树苗高度的中位数

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5. 我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈 $D$ 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈 $D$ 已滑到 $D^{'}$ 的位置，且 $A ， B ， D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 c m ， B$ 为 $A D^{'}$ 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离为 $25 c m$ ，则当伞完全张开时， $∠ B A C$ 的余弦值是（）

A、 $- \frac{23}{32}$ B、 $- \frac{19}{32}$ C、 $- \frac{5}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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6. 若 $c o s \frac{α}{2} = \frac{1}{3} ， α \in (0 ， π)$ ，则（）

A、 $c o s α = \frac{7}{9}$ B、 $t a n α = \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ C、 $c o s (2024 π - \frac{α}{2}) = - \frac{1}{3}$ D、 $c o s (\frac{π}{2} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知 $f (x) = x^{3} g (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，则函数 $g (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $g (x) = l g \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ B、 $g (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x ⩾ 0 \\ x^{2} + 2 x ， x < 0 \end{array}$ C、 $g (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$ D、 $g (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{x} + 1}$

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8. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 内接于表面积为 $4 π$ 的球 $O$ ，则此四棱锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{64}{81}$ B、 $\frac{81}{64}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D ， A B = 5 ， A D = 4 ， D C = 1 ， E$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $A E = 4 E B$ ，动点 $P$ 在以 $E$ 为圆心，1为半径的圆上，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{21}$ B、 $2 \sqrt{3} - 6$ C、 $\sqrt{21} - 6$ D、 $- \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{4} < φ < \frac{π}{4})$ 的零点为 $x$ 轴上的所有整数，则函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{2}{5} x$ 的图象的交点个数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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11. 设 $a = \frac{5}{4} l n \frac{5}{4} ， b = \frac{1}{5} e^{\frac{1}{5}} ， c = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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12. 已知点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上位于第一象限内的一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为 $C$ 的左､右焦点， $C$ 的离心率和实轴长都为2，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $M (\frac{1}{x_{0}} ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $A M$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、点 $N$ 的坐标为 $(0 ， - \frac{1}{y_{0}})$ C、 $O H$ 的长度为1，其中 $O$ 为坐标原点 D、四边形 $A F_{1} N F_{2}$ 面积的最小值为 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数 $f (x)$ 是幂函数，且满足 $\frac{f (4)}{f (2)} = 3$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为.

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14. 如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E ， F$ 分别为 $A D ， P C$ 上一点，且 $A E ： A D = 2 ： 5$ ，当 $P A$ $∥$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ .

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15. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} ， 3 a_{1} ， a_{3}$ 成等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = k a_{n} - 1$ ，则 $S_{2024}$ 除以7的余数为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $Q (0 ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5}) ， L (- 3 ， 0)$ ，圆 $Q$ 过坐标原点 $O$ 且与圆 $L$ 外切，若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与圆 $L$ ，圆 $Q$ 均恰有一个公共点，则 $p =$ .

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 在① $a c o s \frac{B}{2} = b s i n A$ ；② $a c o s B = b s i n A$ ；③ $t a n (B + \frac{π}{4}) = 2 + \sqrt{3}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， A = \frac{π}{3} ， b = \sqrt{2}$ ，且_▲_.求 $△ A B C$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $A C = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘} ， A B = B C ， O$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $O A_{1} ⊥ A B$ ；

(2)、若二面角 $A - O B_{1} - C_{1}$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的离心率的倒数，椭圆 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当过点 $Q (0 ， 2)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两个不同点 $A ， B$ 时，设 $\vec{A Q} = λ \vec{Q B}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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20. 随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 $ζ$ .
求：

(1)、当 $ζ = 4$ 时，甲赢得比赛的概率；

(2)、 $ζ$ 的数学期望.
附：当 $0 < q < 1$ 时， $\underset{n \to + \infty}{l i m} q^{n} = 0 ， \underset{n \to + \infty}{l i m} n \cdot q^{n} = 0$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + l n (e a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(- 2 ， 0)$ 且和曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程；

(2)、若对任意实数 $x > 1$ ，不等式 $f (x) ⩾ l n (x - 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s α ， \\ y = \sqrt{6} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程以及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 1 ， 1)$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点，求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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23. 设实数 $x ， y$ 满足 $x + \frac{y}{4} = 1$ .

(1)、若 $| 7 - y | < 2 x + 3$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $x > 0 ， y > 0$ ，求证： $\sqrt{x y} ⩾ x y$ .

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