青海、宁夏部分名校2024届高三上学期调研考试文科数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 6} ， B = {x | 1 < x < 7}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 7)$ B、 $(3 ， 6)$ C、 ${1 ， 7}$ D、 ${3 ， 6}$

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2. 若 $(3 - i) (a + 6 i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、18 D、 $- 18$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、10 B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = l n (- x) + x^{2} - x$ ，则 $f (1) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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5. 已知 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 上的两点，且直线 $A B$ 经过 $C$ 的焦点，若 $y_{1} + y_{2} = 12$ ，则 $| A B | =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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6. 已知 $x = l n 2$ 是函数 $f (x) = e^{x} + a x$ 的极小值点，则 $a =$ （）

A、 $l n 2$ B、 $- l n 2$ C、2 D、 $- 2$

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7. 小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $α$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴，则 $α$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9. 如图，二面角 $C - A B - D$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3} ， A D ⊥ A B ， B C ⊥ A B ， A B = B C = A D = 2$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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10. 把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，则 $t m i n$ 后该物体的温度 $θ ℃$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- \frac{t}{4}}$ 求得．若将温度分别为 $100 ℃$ 和 $60 ℃$ 两块物体放入温度是 $20 ℃$ 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过 $10 ℃$ ，至少要经过（）（取： $l n 2 = 0.69$ ）

A、 $2.76 m i n$ B、 $4.14 m i n$ C、 $5.52 m i n$ D、 $6.9 m i n$

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11. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = 1 ， A D = C D = 2 \sqrt{2} ， B C = \sqrt{15}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $32 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b = 1 ， B = \frac{π}{6} ， \frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 6 \leq 0 ， \\ x + 3 \geq 0 ， \\ y + 2 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值为．

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14. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200，350，450件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为 $n$ 的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则 $n =$ ．

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15. 设 $α \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}] ， β \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，且 $s i n α + c o s α = \sqrt{2} c o s β$ ，则 $α - β =$ ．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l ： 3 x + 4 y = 0$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 2 | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的离心率为．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17. 某校为了解学生爱好足球是否与性别有关，调查了本校400名学生（男女各一半），发现爱好足球的人数是280，爱好足球的男生比女生多40人．

(1)、完成下面的 $2 \times 2$ 列联表；

爱好足球
不爱好足球
总计
男生
女生
总计

(2)、判断能否有 $99.9 %$ 的把握认为爱好足球与性别有关．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} > k)$
0.10
0.05
0.01
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} + \frac{S_{2}}{2} + \frac{S_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{S_{n}}{n} = \frac{n^{2} + 9 n}{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 S_{n} + 15}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C ， ∠ A B C = 45 ° ， A A_{1} = B C = 2 ， D$ 是 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B ⊥$ 平面 $A C D$ ．

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A C D$ 的距离．

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20. 已知点 $F (0 ， \sqrt{3})$ 和直线 $l ： y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，动点 $T$ 到点 $F$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求动点 $T$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A (1 ， 2)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，直线 $B P ， B Q$ 与 $y$ 轴的交点分别是 $M ， N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a s i n x - (a + 1) x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程；

(2)、当 $0 < x < π ， a \leq - 3$ 时，证明： $f (x) + x c o s x > 0$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ + 4 s i n θ$ ．

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，点 $P (0 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，正数 $a ， b$ 满足 $a + b = m$ ，求 $\frac{9}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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	爱好足球	不爱好足球	总计
男生
女生
总计

$P (K^{2} > k)$	0.10	0.05	0.01	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828