湖北省部分市州2023-2024学年高三上学期元月期末联考数学试卷

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、单选题：每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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2. 定义全集 $R ， A = {x ∣ x ⩾ 1} ， B = {y | y = e^{x} ， x \in A |$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $(- ∞ ， 1)$ B、 $(- ∞ ， e)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， e)$

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3. 设命题 $p$ ：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，命题 $q$ ：数列 ${a_{2 k - 1}}$ 和 ${a_{2 k}} (k \in N^{*})$ 均为等比数列，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，且如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的.如 $12 = 2^{2} \times 3$ ，则2000的不同正因数个数为（）

A、25 B、20 C、15 D、12

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5. 某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（）

A、同时选择两项参加的人数可能有100人 B、同时选择两项参加的人数可能有180人 C、同时选择两项参加的人数可能有260人 D、同时选择两项参加的人数可能有320人

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6. 圆锥 $S O$ 中， $S$ 为圆锥顶点， $O$ 为底面圆的圆心，底面圆 $O$ 半径为3，侧面展开图面积为 $6 \sqrt{3} π$ ，底面圆周上有两动点 $A ， B$ ，则 $△ S A B$ 面积的最大值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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7. 抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (0 ， 2)$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，记直线 $O A ， O B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = | s i n x |^{3} + | c o s x |^{3}$ ，则下列关于 $f (x)$ 说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $\frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， \frac{1}{2})$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、多选题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.

9. 新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保､乘坐舒适､操控性好､使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销量（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的 $60 %$ 分位数是13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + b$ ，则 $b = 11.05$

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10. 已知圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 与 $y$ 轴交于 $O$ （原点）， $C$ 两点，点 $A$ 是圆上的动点， $B (2 ， 0)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ B、 $\forall x \in R ， | \vec{O B} - x \vec{B C} |$ 的最小值为1 C、 $- 2 ⩽ \vec{O A} \cdot \vec{O B} ⩽ 2$ D、令 $\vec{O A} = λ \vec{O B} + μ \vec{O C}$ ，则存在两个不同的点 $A$ ，使 $λ + μ = 1$

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11. 设 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a$ ，点 $A$ 是直线 $3 x + y - a - 1 = 0$ 上的任意一点，过点 $A$ 作函数 $f (x)$ 图象的切线，可能作（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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12. 如图，某工艺品是一个多面体 $P A B C D ， A C = B D = 4 \sqrt{2} c m ， A B = B C = C D = D A = 2 \sqrt{13} c m$ ，点 $E \in A D ， F \in B C ， P A ， P B ， P C$ 两两互相垂直，且 $P ， D$ 位于平面 $A B C$ 的异侧，则下列命题正确的有（）

A、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{9}{13}$ B、当点 $E$ 为 $A D$ 的中点时，线段 $E F$ 的最小值为 $4 c m$ C、工艺品 $P A B C D$ 的体积为 $48 c m^{3}$ D、工艺品 $P A B C D$ 可以完全内置于表面积为 $64 π c m^{2}$ 的球内

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三、/span>､填空题：每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = x \cdot l g (\sqrt{x^{2} + 1} - a x)$ 是偶函数，则 $a =$ .

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14. 若角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $t a n (α + \frac{2023 π}{4}) =$ .

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15. 已知方程 $e^{a x - 1} + (a - 1) x - 1 - l n x = 0$ 有唯一实根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A ， B ， Q$ 为椭圆上异于 $A ， B$ 的任意一点.过右焦点作 $x$ 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长交直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 于点 $C$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{P C} (1 ⩽ λ ⩽ 2)$ ，且 $t a n ∠ Q A B \cdot t a n ∠ Q B A < \frac{2}{3}$ ，则椭圆离心率的取值范围是.

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四、解答题：共70分.解答题需要在答题卡上写出必要的说明或推理过程.

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A B ， c o s ∠ C A D = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$

(1)、求 $△ B C E$ 的面积；

(2)、求线段 $A D$ 的长.

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 6 0^{∘} ， D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F$ $∥$ $D E$ ，且 $A B = D E = 2 ， C F = 1 ， G$ 为棱 $B C$ 的中点， $H$ 为棱 $D E$ 上的动点.

(1)、求二面角 $A - B E - F$ 的正弦值；

(2)、是否存在点 $H$ 使得 $G H$ $∥$ 平面 $B E F$ ？若存在，求 $\frac{E H}{E D}$ 的值；否则，请说明理由.

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19. 第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果相互独立.

(1)、求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；

(2)、设比赛进行的总局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ .

(1)、证明：数列 ${S_{n}^{2}}$ 是等差数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}} = S_{n}^{2} - \frac{1}{2}$ ，且 $b_{1} = 1$ ，求数列 ${(- 1)^{n} \frac{4 S_{n}^{2}}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ .

(1)、证明： $\frac{t a n x - x}{x - s i n x} > 2$ ；

(2)、若 $t a n x + 2 s i n x - a x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 有相同的浙近线，且双曲线 $C$ 的上焦点到一条渐近线的距离等于2.

(1)、已知 $M (0 ， t) (t > 4) ， N$ 为 $C$ 上任意一点，求 $| M N |$ 的最小值；

(2)、已知动直线 $l ： y = k x + m (k \neq \pm 2)$ 与曲线 $C$ 有且仅有一个交点 $P$ ，过点 $P$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l_{1}$ 与两坐标轴分别交于 $A (x_{0} ， 0) ， B (0 ， y_{0})$ .设点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ .
（i）求点 $Q$ 的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线 $C$ 方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ ，动直线 $l$ 方程为 $y = k x + m (k \neq \pm \frac{a}{b})$ ，请直接写出点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ 的轨迹方程.

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月份	1	2	3	4	5	6
销量（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3