黑龙江省牡丹江市普通高中第二共同体2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{x - 2}{x + 1} < 0} ， x \in A$ 的一个必要条件是 $x \geq a$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 0$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq - 1$ D、 $a \geq - 1$

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2. 已知 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{3}{5} i$ B、 $\bar{z} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\bar{z} \cdot z = \frac{2}{5}$ D、 $| z | = \frac{4}{5}$

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3. 点 $(0 ， 3)$ 到双曲线 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．

A、672 B、864 C、936 D、1056

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5. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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6. $\frac{4 s i n 40 ° c o s 40 °}{c o s 20 °} - t a n 20 ° =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (- 4 ， 0) ， C (- 4 ， 3)$ ，动点 $P ， Q$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| Q A |}{| Q B |} = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{C P} + \vec{C Q} |$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 16]$ B、 $[6 ， 14]$ C、 $[4 ， 16]$ D、 $[\sqrt{3} ， 3 \sqrt{5}]$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点为a，函数 $g (x) = l n x + x - 2$ 的零点为b，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a \cdot b > 1$ B、 $e^{a} + l n b < 2$ C、 $a^{2} + b^{2} < 3$ D、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} > \frac{1}{4}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x) ， \vec{b} = (x - 2 ， x)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $x$ 等于（）

A、0 B、－1 C、1 D、－2

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ，点 $M ， N$ 分别在棱 $A B$ 和 $B B_{1}$ 上运动（不含端点），若 $D_{1} M ⊥ M N$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $C D_{1}$ 与直线 $B D$ 所成角为 $45 °$ B、 $M N ⊥$ 平面 $A_{1} D_{1} M$ C、 $M N ⊥ N C$ D、线段 $D N$ 长度的最大值为 $\sqrt{33}$

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11. 下列不等式正确的是（）

A、已知 $a ， b$ 为正实数， $a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 有最小值2 C、已知正数 $x ， y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $x y$ 的最大值是1 D、若对任意 $x > 0 ， x^{3} + 5 x^{2} + 4 x \geq a x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty ， 9]$

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 p x (p > 0)$ ，倾斜角为锐角 $α$ 的直线过其焦点 $F$ 并与抛物线交于两点 $A ， B$ ，下列正确的是（）

A、抛物线上的点到点 $(4 p ， 0)$ 的距离最小值为 $4 p$ 　　　　 B、三角形 $A O B$ （为原点）面积最小值为 $16 p^{2}$ C、抛物线在点 $(p ， 2 p)$ 处的切线方程为 $x - y + p = 0$ 　　 D、若 $A F = 2 B F$ ，则 $s i n 2 α = \frac{4}{9} \sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某学校考试数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (95 ， σ^{2})$ ，且 $P (X < 70) = 0.16$ ，则成绩在 $[70 ， 120]$ 的概率为．

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14. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} a_{2} a_{3} = 4 ， a_{4} a_{5} a_{6} = 8 ， a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = 128$ ，则 $n =$ ．

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15. 已知函数 $y = 2 s i n (w x + \frac{π}{4}) (w > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上恰有两个零点，则 $w$ 的取值范围．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 a x + 2 & (x > 0) \\ 2^{x + 1} - a & (x \leq 0) \end{array}$ 有且只有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中， $s i n 2 C = \sqrt{3} s i n C$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $b = 6$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $6 \sqrt{3} + 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} - 1$ 、 $a_{2} - 1 、 a_{3} + 1$ 成等比数列， $b_{1} = 1$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $c_{n} = b_{n} + l o g_{2} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：
温度 $x_{i}$ （零下 $℃$ ）
7
10
11
15
17
出楼人数 $y_{i}$
20
16
17
10
7

(1)、利用最小二乘法，求变量 $x ， y$ 之间的线性回归方程；
附：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ 　　　 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(2)、预测当温度为 $- 8 ℃$ 时，该班级在本节课间的出楼人数（人数：四舍五入取整数）．

(3)、为了号召学生能够增加室外活动时间，学校举行拔河比赛，采取3局2胜制（无平局）．在甲、乙两班的较量中，甲班每局获胜的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，设随机变量X表示甲班获胜的局数，求 $X$ 的分布列和期望．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中 $A B = 2 A D = 4 ， E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ ，使 $D A_{1} ⊥ E C$ ，若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，

(1)、求证： $B M ∥$ 平面 $A_{1} D E$

(2)、求证：平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C D E$

(3)、求二面角 $C - A_{1} B - E$ 夹角的正弦值

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， A ， B为 $C$ 上的两个动点，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、若 $A$ ， $B$ 两点的纵坐标的乘积大于 $0$ ， $M 、 N$ 是椭圆的左右顶点，且 $∠ A F_{2} M = ∠ B F_{2} N$ ．证明：直线 $A B$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 3 l n x$

(1)、求 $f (x)$ 单调区间

(2)、已知 $m$ 为整数，关于 $x$ 的不等式 $f (x l n x + 2 x - 1) > f (m (x - 1))$ 在 $x > 1$ 时恒成立，求 $m$ 的最大值．

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