甘肃省酒泉市瓜州县重点中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {x ∣ x = 2 k ， k \in Z}$ ，集合 $M = {x ∣ x = 4 k ， k \in Z}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 ${x ∣ x = 4 k - 1 ， k \in Z}$ B、 ${x ∣ x = 4 k - 2 ， k \in Z}$ C、 ${x ∣ x = 4 k - 3 ， k \in Z}$ D、 ${x ∣ x = 4 k ， k \in Z}$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z^{2}} - \bar{z} =$ （）

A、 $1 + \frac{1}{2} i$ B、 $1 - \frac{1}{2} i$ C、 $- 1 - \frac{3}{2} i$ D、 $- 1 - \frac{1}{2} i$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，点 $P (2 ， 1)$ 在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{3 x^{2}}{20} - \frac{3 y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4. 下列可能是函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知圆锥的侧面展开图是面积为 $2 π$ 的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{8}$

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6. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $\frac{2 π}{3} < T < π$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、3

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7. 甲､乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲､乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（）

A、 $\frac{4}{15}$ ‘ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{2}{11}$ D、 $\frac{3}{11}$

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8. 已知直线 $y = k_{1} x$ 与 $y = k_{2} x (k_{1} > k_{2})$ 是曲线 $y = a x + 2 l n | x | (a \in R)$ 的两条切线，则 $k_{1} - k_{2} =$ （）

A、 $\frac{4}{e}$ B、 $2 a$ C、4 D、无法确定

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 2$ C、当 $x < 2$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $x = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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10. 若一组不完全相同的数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，极差为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $s^{2}$ ，在这组数据中加入一个数 $\bar{x}$ 后得到一组新数据 $\bar{x} ， x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，其平均数为 $\bar{x^{'}}$ ，极差为 $a^{'}$ ，中位数为 $b^{'}$ ，方差为 $s^{' 2}$ ，则下列判断一定正确的是（）

A、 $\bar{x^{'}} = \bar{x}$ B、 $a^{'} = a$ C、 $b^{'} = b$ D、 $s^{' 2} = s^{2}$

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11. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 2$ B、 $| M N | = \frac{8}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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12. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a ， b$ 是非零常数，无理数 $e =$ 2. $71828 ⋯$ ），对于函数 $f (x)$ ，以下结论正确的是（）

A、 $a = b$ 是函数 $f (x)$ 为偶函数的充分不必要条件 B、 $a + b = 0$ 是函数 $f (x)$ 为奇函数的充要条件 C、如果 $a b < 0$ ，那么 $f (x)$ 为单调函数 D、如果 $a b > 0$ ，那么函数 $f (x)$ 存在极值点

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩 $X$ （单位：分）服从正态分布 $N (80 ， σ^{2})$ ，且成绩在 $[80 ， 90]$ 上的学生人数为16，则成绩在90分以上（不含90分）的学生人数为.

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14. 与两坐标轴都相切，且圆心在直线 $2 x - y + 6 = 0$ 上的圆的标准方程是.

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15. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.（用数字作答）

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $E ， F$ 分别在线段 $D D_{1}$ 和线段 $A A_{1}$ 上，且 $D_{1} E = 2 E D ， A F = 2 F A_{1}$ ，点 $M$ 是正方形 $B_{1} B C C_{1}$ 所在平面内一动点，若 $D_{1} M$ $∥$ 平面 $F B E$ ，则 $M$ 点的轨迹在正方形 $B_{1} B C C_{1}$ 内的长度为.

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四、解答题：本大题共6小题､共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是由正数组成的等比数列，且 $a_{5} = 256 ， a_{3} + a_{4} = 20 a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ ．

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 C D$ ，求 $A D$ ．

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19. 某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：

主动预习
不太主动预习
合计
学习兴趣高
18
7
25
学习兴趣一般
6
19
25
合计
24
26
50

(1)、现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用 $X$ 表示其中“会主动预习”的学生的人数，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.
参考数据､附表及公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20. 如图，在五面体 $A B C D E$ 中，已知 $A C ⊥$ 平面 $B C D ， A C$ $∥$ $D E$ ，且 $A C = B C = 2 D E = 2 ， D B = D C = 2$ .

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $B D E$ 所成角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $M ， N$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点（ $M ， N$ 与点 $A$ 不重合），直线 $A M ， A N$ 的斜率之和为4，作 $A H ⊥ M N$ 于 $H$ .是否存在定点 $P$ ，使得 $| P H |$ 为定值.若存在，求出定点 $P$ 的坐标及 $| P H |$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. （12分）
已知函数 $f (x) = e^{x - 1} l n x ， g (x) = x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) ⩽ g (x)$ .

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	主动预习	不太主动预习	合计
学习兴趣高	18	7	25
学习兴趣一般	6	19	25
合计	24	26	50

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828