甘肃省酒泉市普通高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 过点 $P (- 2 ， 1)$ 且倾斜角为 $0 °$ 的直线方程为（）

A、 $y = 1$ B、 $x = - 2$ C、 $y = - 2$ D、 $x = 1$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 3$ ，则 $2 a_{4} + a_{7} =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）

A、10种 B、12种 C、20种 D、60种

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4. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）

A、3 B、3或7 C、5 D、7

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为4的等比数列，且 $a_{1} = 2$ ，则数列 ${l o g_{2} a_{n}}$ 是（）

A、公比为2的等比数列 B、公比为 $l g 2$ 的等比数列 C、公差为2的等差数列 D、公差为 $l g 2$ 的等差数列

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6. 过点 $A (- 1 ， 4)$ 作圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 的切线，切点为 $B$ ，则切线段 $A B$ 长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7. 与直线 $x - y - 4 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$ 都相切的半径最小的圆的方程为（）

A、 $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ B、 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ C、 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ D、 $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$

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8. 某班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 切于点 $P$ ，且 $| P F_{1} | = 6$ ，过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $m$ 与椭圆长轴交于点 $Q$ ，则 $\frac{| F_{1} Q |}{| F_{2} Q |} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列式子正确的是（）

A、 $C_{7}^{2} = C_{7}^{5}$ B、 $C_{5}^{3} = C_{4}^{2} + C_{4}^{3}$ C、 $A_{6}^{4} = 4 A_{6}^{3}$ D、 $5 \times 5! = 6! - 5$ !

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ 则以下四个判断正确的为（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线 $C$ 表示双曲线 C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$

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11. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y + 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ B、直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ C、直线 $l$ 的一个法向量为 $u = (1 ， \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的一个方向向量为 $v = (- \sqrt{3} ， 3)$

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12. “内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进人了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形 $A B C D$ 的边长为4，取正方形 $A B C D$ 各边的四等分 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 作第二个正方形，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到如图（2）阴影部分图案，设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ ；设直角三角形 $A E H$ 面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2} ， b_{3} ， ⋯ ， b_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 与数列 ${a_{n}}$ 均是公比为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ 的等比数列 B、从正方形 $A B C D$ 开始，连续4个正方形的面积之和为 $\frac{129}{4}$ C、 $b_{5}$ 和 $a_{4}$ 满足等式 $b_{5} = \frac{15}{256} a_{4}^{2}$ D、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{n}}{4} < \frac{a_{3}}{5}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 抛物线 $2 y^{2} = - x$ 的准线方程是.

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14. 某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少有1名女生，则不同的选法种数为.（用数字作答）

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15. 已知 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 1 = 0$ 上任意一点，则 $| P Q |$ 的最小值为.

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16. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为.（注：一丈=十尺，一尺=十寸）

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5 ， 1)$ ， $A C$ 边上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x - 2 y - 7 = 0$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ .

(1)、求直线 $A C$ 的方程；

(2)、求顶点 $B$ 的坐标.

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18.

(1)、已知椭圆经过点 $P (3 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦点在 $x$ 轴上，求椭圆的标准方程；

(2)、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点坐标为 $(1 ， 0)$ ，一条斜率为1的直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$ ，且与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} + n - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并证明： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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20.

(1)、过点 $M (4 ， 0)$ 的直线交抛物线 $y^{2} = 4 x$ 于点 $A$ ， $B$ ，证明：以 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(- 2 ， - 1)$ ， $(1 ， 2)$ ，顶点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 8 y + 11 = 0$ 上运动，求 $△ A B C$ 的重心 $G$ 的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线.

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21. 已知 $a > b > 0$ ，双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的渐近线方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 分别是 $C_{1}$ 的两条渐近线上的动点，且 $| M N | = \sqrt{2}$ ，若 $O$ 是坐标原点， $\vec{O P} = \vec{O M} + \vec{O N}$ ，求动点 $P$ 的轨迹方程，并指出它是什么曲线.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} + 5 ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{*} ， \\ - a_{n} + 10 ， n = 2 k ， k \in N^{*} ， \end{array}$ 记 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $T_{3} = T_{4} = 24$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = T_{m} = 96 (n < m)$ ，求 $n$ ， $m$ .

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