江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共18分）

1. 下列说法错误的是（）

A、平行四边形的对边相等 B、正方形的对角线互相垂直平分且相等 C、菱形的对角线相等且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分

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2. 关于x的一元二次方程 $(m - 3) x^{2} + 5 x + m^{2} - 3 m = 0$ 的常数项为0，则m的值为（）

A、3 B、0 C、3或0 D、2

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3. 某轨道列车共有3节车厢，设旅客从任意一节车厢上车的机会均等，某天，甲、乙两位乘客同时乘一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 如图，已知下列条件不能判定 $△ A D B ∽ △ A B C$ 的是（）

A、 $∠ A B D = ∠ A C B$ B、 $∠ A D B = ∠ A B C$ C、 $\frac{A D}{A C} = \frac{D B}{B C}$ D、 $A B^{2} = A D \cdot A C$

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5. 小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程 $x^{3} + 12 x - 15 x - 1 = 0$ 的解，列表如下：
x
0
0.5
1
1.5
2
$x^{3} + 12 x - 15 x - 1$
－1
－5.375
－3
6.875
25
据此可知，方程 $x^{3} + 12 x - 15 x - 1 = 0$ 的一个解x的取值范围是（）

A、 $0 < x < 0.5$ B、 $0.5 < x < 1$ C、 $1 < x < 1.5$ D、 $1.5 < x < 2$

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6. 如图， $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 的中点， $△ A C E$ 为等边三角形．若 $A B = 2$ ，则 $O E$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 如图，在菱形ABCD中， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ A B C =$ .

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8. 关于x的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 有实数根，则a的取值范围是．

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9. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里可能有个白球.

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10. 若a ， b是方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根，则 $(a - 2) (b - 2)$ 的值为.

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11. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为.

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12. 如图， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A B = 6 c m$ ， $C D = 4 c m$ ， $B D = 14 c m$ ，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当 $△ A P B$ 与 $△ C P D$ 相似时，BP的长为.

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三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、解方程： $x (x - 2) = 3$ .

(2)、如图：在正方形ABCD中，点E、F在AC上，且 $A F = C E$ ，求证：四边形BEDF是菱形.

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14. 先阅读下面某校九年级师生的对话内容，再解答问题（温馨提示：一周只上五天课，另外，考试时每半天考一科且只能安排在周一到周五）
小红：“听说下周会进行连续两天的期中考试.”
吴老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚.”
小凡：“我估计是星期四、星期五.”

(1)、求小凡猜对的概率.

(2)、若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用列表或画树状图的方式求恰好在同一天考语文、数学的概率.

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15. 如图，已知 $∠ D A B = ∠ E C B$ ， $∠ A B D = ∠ C B E$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D B E$ .

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16. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？

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17. 如图，在正方形ABCD中， $B E = C E$ ，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②

(1)、在图①中，画出AD的中点M；

(2)、在图②中，画出CD的中点N.

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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，一张矩形纸片ABCD ，将点B折叠到对角线AC上的一点M处，折痕CE交AB于点E ，将点D折叠到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F.

(1)、求证： $A F ∥ C E$ .

(2)、当 $∠ B A C$ 的大小为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由.

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19. 已知关于x的方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + (3 k - 1) = 0$ .

(1)、求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)、当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中，已知 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 3$ ， $C D = 5$ ， $C E = 2.5$ ，连接AD、BE.

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ B C E$ .

(2)、若 $∠ B C E = 45 °$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 电影（长津湖）是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极严寒环境下坚守阵地奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事，2023年国庆节来临之际，某电影院开展“纪念英烈，铸中华魂”系列活动，对团体购买电影票实际优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只需花1200元.

(1)、求每张电影票的原定零售票价？

(2)、为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率.

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22. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 2 A B = 8$ ，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE ，将 $△ E D C$ 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为 $α$ .
备用图

(1)、问题发现：
①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ .
②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ .

(2)、拓展探究：
当 $0 ° < α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？仅就图②的情形给出证明；

(3)、问题解决：
当 $△ E D C$ 旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

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六、解答题

23. 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.

(1)、求证： $B M = D N$ .

(2)、连接MQ、PN ，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由.

(3)、矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由.

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x	0	0.5	1	1.5	2
$x^{3} + 12 x - 15 x - 1$	－1	－5.375	－3	6.875	25