湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（12月）

试卷更新日期：2024-01-12 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合要求的）

1. 经过点 $(2 ， 4)$ 的双曲线的表达式是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = \frac{1}{2 x}$ C、 $y = \frac{8}{x}$ D、 $y = \frac{1}{8 x}$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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3. 若 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上的点， $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ，则下列比例式一定成立的是（）

A、 $\frac{E F}{A D} = \frac{C F}{B F}$ B、 $\frac{A D}{B D} = \frac{D E}{B C}$ C、 $\frac{B F}{B C} = \frac{F E}{A D}$ D、 $\frac{E F}{B A} = \frac{D E}{B C}$

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= $\frac{5}{12}$ ，则sinA=（）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{5}{13}$

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5. 为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（）

A、1250条 B、1750条 C、2500条 D、5000条

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6. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象和反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， - 1)$ 两点，若 $y_{1} \geq y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 2$ C、 $- 2 \leq x < 0$ 或 $x \geq 1$ D、 $x \leq - 2$ 或 $0 < x \leq 1$

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7. 已知 $a$ 、 $b$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $- 6$ C、 $- 5$ D、6

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D = 4 C D$ ，连接 $A D$ ，作 $B F ⊥ A D$ 分别交 $A D$ 于 $E$ ， $A C$ 于 $F$ ， $G$ 为 $A B$ 的中点，连接 $C G$ 交 $A D$ 于 $M$ .现有以下结论：① $∠ D A C = ∠ A B F$ ；② $G M = 2 C M$ ；③ $A B = A D$ ；④ $A G^{2} = A F \cdot A C$ .其中正确结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $s i n C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、12 C、14 D、21

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10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转45°后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2023次得到正方形 $O A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，那么点 $A_{2023}$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， - 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象位于第二、四象限，则一次函数 $y = k x - k$ 的图象不经过第象限.

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{b + a} =$ .

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13. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.若两次降价的百分率都为 $x$ ，则根据题意可列方程.

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14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC的值为．

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15. 如图，已知 $△ O A B$ 顶点 $A (- 3 ， 6)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，把 $△ O A B$ 缩小到原来的 $\frac{1}{3}$ ，则与点 $A$ 对应的点的坐标是.

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16. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{14}{x}$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A B$ 垂直 $x$ 轴，垂足为 $B$ ，交反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x}$ 的图象于点 $C$ ，点 $P$ 为 $y$ 轴上一点，连接 $P A$ 、 $P C$ ，则 $△ A P C$ 的面积为.

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三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）

17. 计算： ${(- 1)}^{2003} \times 2^{- 1} \times {(- 2024)}^{0} - t a n 60 ° c o s 30 °$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 10$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的点，且 $∠ C A D = ∠ B$ ，求 $C D$ 的长.

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $A D$ 的中点， $B E = 3 A E$ ，求 $c o s ∠ E C M$ 的值.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m + 2 = 0$ .

(1)、求证：无论实数 $m$ 取何值，方程总有两个实数根；

(2)、若方程两个根均为正整数，求负整数 $m$ 的值.

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21. 某中学为了了解学生每周在校体育锻炼的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息，解答下列问题：
时间/小时
频数/人
频率
$2 \leq t < 3$
4
0.1
$3 \leq t < 4$
10
0.25
$4 \leq t < 5$
$a$
0.15
$5 \leq t < 6$
8
$b$
$6 \leq t < 7$
12
0.3
合计
40
1

(1)、表中的 $a =$ ， $b =$ （请直接写出 $a$ 、 $b$ 的值）

(2)、请将频数分布直方图补全；

(3)、若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？

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22. 阅读探究：任意给定一个矩形 $A$ ，是否存在另一个矩形 $B$ ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。

(1)、当已知矩形 $A$ 的相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的相邻两边的长分别是 $x$ 和 $y$ ，由题意得方程组 ${\begin{cases} x + y = \frac{7}{2} \\ x y = 3 \end{cases}$ ，消去 $y$ ，化简 $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ， $∵$ $b^{2} - 4 a c = 49 - 48 = 1 > 0$ ， $∴$ $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ ，所以存在满足要求的矩形；

(2)、如果已知矩形 $A$ 的相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 $B$ ；

(3)、如果矩形 $A$ 的相邻两边的长分别为 $m$ 和 $n$ ，请你研究满足什么条件时，矩形 $B$ 存在.

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23. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动.如图，古树 $A B$ 直立于水平面，为测量古树 $A B$ 的高度，小明从古树底端 $B$ 出发，沿水平方向行走了25米到达点 $C$ ，然后沿斜坡 $C D$ 前进，到达坡顶 $D$ 点处， $D C = B C$ .在点 $D$ 处放置测角仪，测角仪支架 $D E$ 高度为0.6米.在 $E$ 点处测得古树顶端 $A$ 点的仰角 $∠ A E F$ 为15°（点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内），斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 3 ： 4$ .（参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ， $t a n 15 ° \approx 0.27$ ）

(1)、求斜坡 $C D$ 的高；

(2)、求古树的高 $A B$ .（结果保留一位小数）

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24. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象经过 $A (0 ， - 2)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象在第一象限内的交点为 $M (m ， 4)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、点 $C$ 是线段 $A M$ 上一点，若 $S_{△ O C M} = \frac{1}{3} S_{△ A M O}$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、若点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，是否存在以点 $O$ 、 $M$ 、 $P$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3， $E$ 、 $F$ 为线段 $A C$ 上两动点（不与 $A$ ， $C$ 点重合），且 $∠ E B F = 45 °$ .

(1)、求证： $△ A B F$ ∽ $△ B E F$ ；

(2)、试说明无论点 $E$ ， $F$ 在线段 $A C$ 上怎样运动，总有 ${(\frac{E B}{F B})}^{2} = \frac{C E}{A F}$ ；

(3)、如图2，过点 $E$ ， $F$ 分别作 $A B$ ， $B C$ 的垂线相交于点 $O$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，求 $O M \cdot O N$ 的值.

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时间/小时	频数/人	频率
$2 \leq t < 3$	4	0.1
$3 \leq t < 4$	10	0.25
$4 \leq t < 5$	$a$	0.15
$5 \leq t < 6$	8	$b$
$6 \leq t < 7$	12	0.3
合计	40	1