山东省青岛市西海岸新区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学检测试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：月考试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图所示几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中，是二次函数的有（　　）
① $y = 1 - \sqrt{2} x^{2}$ ， ② $y = \frac{1}{x^{2}}$ ， ③ $y = 3 x (1 - 3 x)$ ， ④ $y = (1 - 2 x) (1 + 2 x)$

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知反比例函数 $y = (m + 1) x^{m^{2} - 5}$ 的图象在第二、四象限内，则m的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、0

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别是 $A B ， A C$ 的中点，则下列结论不正确的是（）

A、 $B C = 2 D E$ B、 $Δ A D E ∼ Δ A B C$ C、 $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{B C}$ D、 $S_{Δ A B C} = 4 S_{Δ A D E}$

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）

A、(2，5) B、( $\frac{5}{2}$ ，5) C、(3，5) D、(3，6)

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7. 已知抛物线y＝ $\frac{1}{2} （ x - 1 ）^{2} + k$ 上有三点A(﹣2， $y_{1}$ )，B(﹣1， $y_{2}$ )，C(2， $y_{3}$ )，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（　　）

A、 $y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3}$ B、 $y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$ C、 $y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1}$ D、 $y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3}$

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8. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、图像与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 1)$ B、图像的对称轴在 $y$ 轴的右侧 C、当 $x < 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 D、 $y$ 的最小值为-3

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9. 在同一直角坐标系中，反比例函数y＝ $\frac{a b}{x}$ 与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接 $E G$ ， $D G$ ．若正方形 $A B C D$ 与 $E F G H$ 的边长之比为 $\sqrt{5} ： 1$ ，则 $s i n ∠ D G E$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{10} \sqrt{10}$ D、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n B =$ ．

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12. 抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} - 1$ 的顶点坐标为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点， $B C ∥ x$ 轴，分别交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ ， $y = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 的图象于B ， C两点，若 $△ A B C$ 的面积是3，则k的值为；

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14. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为.

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15. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D ，则sin ∠ADC= ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $A C$ 和 $B C$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $B C D E$ ，过点 $D$ 作 $F C$ 的延长线的垂线，垂足为点 $H$ ．连接 $F D$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $M$ ．下列说法：① $△ A B C ≌ △ H D C$ ；②若 $F G = 1$ ， $D E = 2$ ，则 $C N = \frac{4}{3} \sqrt{3}$ ；③ $\frac{S_{△ C F M}}{S_{△ C D H}} = \frac{1}{2}$ ；④ $F M = D M$ ；⑤若 $A G = \sqrt{3}$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{2}{3}$ ，则 $△ F C M$ 的面积为 $4$ ，正确的有． (填序号)

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三、计算题（每题4分，共16分）

17.

(1)、 $\sqrt{3} s i n 60 ° - 3 t a n 30 ° + c o s^{2} 45 °$ ．

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + {(m - 1)}^{2} = 0$ 有两个相等的实数根．
（ⅰ）求m的值；
（ⅱ）求此方程的根．

(3)、写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（i） $y = - x^{2} - 2 x$ ；
（ii） $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 3$ ．

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18. 在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为 $1 c m$ 的小正方体堆成一个几何体，如图所示：

(1)、请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图；

(2)、如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需克漆；

(3)、若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左边看不变，最多可以再添加个小正方体．

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19. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

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20. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 相交于点 $A (2 ， 3)$ ， $B (n ， 1)$ ．

(1)、求双曲线及直线对应的函数表达式；

(2)、将直线 $A B$ 向下平移至 $C D$ 处，其中点 $C (- 2 ， 0)$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴上．连接 $A D$ ， $B D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、请直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E ， F ， G ， H分别在边AB ， BC ， CD ， DA上，AE＝CG ， AH＝CF ，且EG平分∠HEF ．

(1)、求证：△AEH≌△CGF ．

(2)、若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．

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22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为 $35 °$ ，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为 $63.4 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F ∥ C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点G（点C ， D ， B在同一水平线上）．（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.6$ ， $c o s 35 ° \approx 0.8$ ， $t a n 35 ° \approx 0.7$ ， $s i n 63.4 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63.4 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63.4 ° \approx 2.00$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）．

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23. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元.

(1)、填表（不需化简）

	入住的房间数量	房间价格	总维护费用
提价前	60	200	60×20
提价后

(2)、若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）

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24. 如图，

n + 1

个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设

△ B_{2} D_{1} C_{1}

的面积为

S_{1}

，

△ B_{3} D_{2} C_{2}

的面积为

S_{2}

，

△ B_{n + 1} D_{n} C_{n}

的面积为

S_{n}

．

(1)、【规律探究】：

探究一

探究二

探究三

∵ $△ B_{1} B_{2} D_{1} ∽ △ C_{1} A D_{1}$ ，

∴ $B_{1} D_{1} ： D_{1} C_{1} = 1 ： 1$ ，

∴ $S_{1} =$ ．

∵ $B_{2} B_{3} ： A C_{2} = 1 ： 2$ ，

∴ $B_{2} D_{2} ： D_{2} C_{2} = 1 ： 2$ ，

∴ $S_{2} =$ ， $S_{1} =$ ．

∵ $B_{3} B_{4} ： A C_{3} = 1 ： 3$ ，

∴ $B_{3} D_{3} ： D_{3} C_{3} = 1 ： 3$ ，

∴ $S_{3} =$ ， $S_{2} =$ ．

(2)、【结论归纳】

$S_{n} =$ ．（用含n的式子表示）

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25. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，连接BE ， EF⊥BE交AD于点F ．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

(1)、当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？

(2)、连接PQ ，设五边形AFEPQ的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S_{五边形AFEPQ}∶S_矩形ABCD＝33∶64？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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