北京市丰台区重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-11 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $y = - 1$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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2. 过 $A (0 ， - 3)$ ， $B (- 2 ， 5)$ 两点的直线的斜率为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 设向量 $\vec{a} = (m ， 2 ， 5) ， \vec{b} = (2 ， - 1 ， 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 若无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，则“ $d > 0$ ”是“ $\exists k \in N^{*}$ ， $a_{k} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 2$ 的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、1

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6. 若直线l： $y = a x - b$ 经过第二、三、四象限，则圆C： ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 的圆心位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 点 $(2 ， 1)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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8. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{7} + 2 a_{9} + a_{17} = 24$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、240 B、60 C、180 D、120

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9. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{7}$ 且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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10. 已知 $F$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线 $F D$ ，垂足为 $D$ ，若 $| F D | = \frac{1}{2} | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、2 C、3 D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. 已知点 $A (2 ， 4)$ ， $B (5 ， 4)$ ，那么 $A ， B$ 两点之间的距离等于.

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12. 点 $(4 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线的距离为．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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14. 已知点 $P$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (3 ， 1)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为；点 $B (4 ， 5)$ ，则 $| P B | + | P F |$ 的最小值为.

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 ${(a_{n} - 1)}^{2} = 4 (100 - S_{n})$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} > 0$ ， $a_{n} + a_{n - 1} \neq 0 (n \geq 2)$ ，则下列命题正确的是.
① $a_{n} = - 2 n + 21$ ；②数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列；③当 $n = 11$ 时， $S_{n}$ 有最大值
④设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，则当 $n = 8$ 或 $n = 10$ 时，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和取最大值

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知直线 $l ： y = k x + 1 ， l$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $Q$ 在圆 $C$ 上运动．

(1)、当 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ 时，求 $k$ ；

(2)、已知点 $P (2 ， 1)$ ，求 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程．

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17. 如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为矩形， $P A = A D = A B = 2$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $M N ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P M C$ 所成角的正弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{8} = 4$ ， ▲ ．
从① $S_{11} = - 22$ ， ② $S_{5} = S_{6}$ 中任选一个，补充在上面的问题中并作答．

(1)、判断2022是否是数列 ${a_{n}}$ 中的项，并说明理由；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值．

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19. 椭圆 $C$ 的中心在坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 经过点 $(\sqrt{2} ， 0)$ 且短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(2 ， 1)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $A B$ 的长.

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20. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 在直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 上， $A ， B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，且 $| A F | = 3 | B F |$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $P (2 ， 0)$ ，是否存在过点 $G (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，使得直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率之和等于-1?若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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