浙江省台州市2024届高三上学期第一次教学质量评估（一模）数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $A = {(1 ， 2) ， (2 ， 1)}$ ， $B = {(x ， y) | x - y = 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 1}$ B、 ${(2 ， 1)}$ C、 ${(1 ， 2)}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 若 $c o s α = c o s (\frac{π}{3} + α)$ ，则 $α$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，且 $a ⊥ α$ ， $b \subset β$ ，则“ $a / / b$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）

A、288种 B、360种 C、480种 D、504种

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6. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = f (1 - \frac{1}{2} x)$ B、 $y = - f (1 - \frac{1}{2} x)$ C、 $y = f (4 - 2 x)$ D、 $y = - f (4 - 2 x)$

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7. 已知二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $C \in l$ ， $D \in l$ ， $A B ⊥ l$ ， $A B$ 与平面 $β$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ．记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $a = t a n \frac{1}{2}$ ， $b = t a n \frac{2}{π}$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{π}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）

A、可能取到数字4 B、中位数可能是2 C、极差可能是4 D、众数可能是2

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{π}{4}$ ，公差为 $\frac{π}{2}$ ， $b_{n} = t a n a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{n} = {(- 1)}^{n}$ B、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ C、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，则 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1} n}{4} π$ D、若 $d_{n} = b_{n} S_{n}$ ，则 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + \cdot \cdot \cdot + d_{2 n} = - \frac{2 n^{2} + n}{4} π$

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11. 已知 $A$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上位于第一象限内一点，过点 $A$ 作x轴的垂线，垂足为 $M$ ，点 $B$ 与点 $A$ 关于原点对称，点 $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，则（）

A、若 $| A B | = 10$ ，则 $A F ⊥ B F$ B、若 $A F ⊥ B F$ ，则 $△ A B F$ 的面积为9 C、 $\frac{| A F |}{| A M |} > 2$ D、 $| A F | - | A M |$ 的最小值为8

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12. 已知 $g (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数， $f (0) = 1$ ， $f (1) = 0$ ， $g (x) + g (2 - x) = 0$ ， $\frac{f (x) + g (x)}{x - 1} > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 1$ B、 $f (3) > \frac{1}{e}$ （e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ） C、存在 $x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) < 0$ D、若 $x_{0} \in (0 ， 1)$ ，则 $f (x_{0}) \in (0 ， 1)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若 $z = \frac{1}{2} - \sqrt{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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14. 浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学玟分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为 $1 ： 1 ： 2$ ，现从这三所学玟中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若角 $A$ 为锐角， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）

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16. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 上的点 $P$ （不为原点）作 $C$ 的切线 $l$ ，过坐标原点 $O$ 作 $O Q ⊥ l$ ，垂足为 $Q$ ，直线 $P F$ （ $F$ 为抛物线的焦点）与直线 $O Q$ 交于点 $T$ ，点 $A (0 ， 2)$ ，则 $| T A |$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1} + a_{n + 2} = 12 a_{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{5} = 121$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + l n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $f (x) = s i n ω x + s i n x + c o s x (ω \in R)$ ．

(1)、当 $ω = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小正周期以及单调递减区间；

(2)、当 $ω = 2$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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19. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 为 $C D$ 的中点， $A B = 4$ ， $A D = A E = 2$ ．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 的位置．

(1)、若平面 $A P E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，求证： $A P ⊥ B E$ ；

(2)、若点 $A$ 到直线 $P C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ ，求二面角 $P - A E - B$ 的平面角的余弦值．

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20. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ $x$ 分钟/每天）和他们的数学成绕（ $y$ 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号
1
2
3
4
5
学习时间 $x$
30
40
50
60
70
数学成绩 $y$
65
78
85
99
108

(1)、请根据所给数据求出 $x$ ， $y$ 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435$ ， $x_{i}$ 的方差为200）

(2)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）．依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二

没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ． $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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21. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的上、下顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $Q$ 在线段 $A B$ 上运动（不含端点），点 $P (- 1 ， 0)$ ，直线 $P Q$ 与椭圆交于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $P$ 左侧）， $P D$ 中点 $M$ 的轨迹交 $y$ 轴于 $E$ ， $F$ 两点，且 $| E F | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、记直线 $A C$ ， $A D$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} - k_{2}$ 的最小值．

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22. 设 $f (x) = \frac{x}{l n x}$

(1)、求证： $f (x) < \frac{x^{2}}{x - 1}$ ；

(2)、若 $f (x) < n l n (1 - x^{2})$ 恒成立，求整数 $n$ 的最大值．（参考数据 $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.099$ ）

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编号	1	2	3	4	5
学习时间 $x$	30	40	50	60	70
数学成绩 $y$	65	78	85	99	108

	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828