重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一上学期1月期末学业质量联合调研抽测数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}$ ，则 $c o s^{2} (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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3. 函数 $y = 4^{x} + 2^{x + 1} + 3$ 的值域为（）

A、 $[2 ， + ∞)$ B、 $[9 ， + \infty)$ C、 $(\frac{13}{3} ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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4. 已知 $t a n (α + β) = 2 ， t a n (α - β) = 3$ ，则 $t a n 2 β =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $- \frac{1}{7}$

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5. 函数( $f (x) = A s i n (ω x + ϕ)$ （ $A ， ω ， ϕ$ 是常数 $， A > 0 ， ω > 0)$ ），的部分图像如图所示，则f(0)=（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知 $a > b > 0$ ，二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + b$ 有且仅有一个零点，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 4)}^{2} ， - 5 \leq x < - 3 \\ f (x - 2) ， x \geq - 3 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | k (x + 1) |$ 有9个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}]$ B、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ C、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ D、 $[- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}]$

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8. 高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数.则方程 $x^{2} = 2 [x] + 1$ 的解的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 11) x^{m - 1}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则（）

A、 $m = 3$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $m = - 4$ D、 $f (- 1) = - 1$

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10. 已知 $a^{2} + a^{- 2} = 3$ ，则 $a + a^{- 1}$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、1 D、 $- 1$

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11. 已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（）

A、 $s i n (\frac{π}{3} + α) = s i n (\frac{2 π}{3} - α)$ B、 $s i n (\frac{π}{4} + α) = - c o s (\frac{5 π}{4} - α)$ C、 $t a n (\frac{π}{3} - α) = t a n (\frac{2 π}{3} + α)$ D、 $t a n^{2} α s i n^{2} α = t a n^{2} α - s i n^{2} α$

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12. 已知函数 $f (x) = (s i n x + c o s x) \cdot | s i n x - c o s x |$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、若 $| f (x_{1}) | + | f (x_{2}) | = 2$ .则 $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 D、 $y = f (x)$ 的对称轴是 $x = k π + \frac{π}{4} (k \in Z)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | x = t^{2} ， t \in A}$ ，用列举法表示集合 $B$ ，则 $B =$ ．

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14. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x}$ 的值域为．

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且函数 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (3) = 3$ ，则 $f (7) + f (4) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (- x) | ， x < 0 \\ x^{2} - 2 x + 2 ， x \geq 0 \end{array}$ ，函数 $F (x) = f (x) - a$ 有四个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 且满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3} x_{1}^{2} + x_{4} x_{1}^{2}}{2}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 若函数 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且其定义域均为 ${x | x \in R ， x \neq \pm 1}$ .若 $f (x) + g (x) = \frac{1}{x - 1}$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式.

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18. 已知 $t a n α = - \frac{3}{4}$ ，求

(1)、求 $\frac{s i n (2 π - α) + c o s (\frac{5 π}{2} + α)}{s i n (α - \frac{π}{2})}$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - 2 c o s α}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = l g (3 - 4 x + x^{2})$ 定义域为 $M$ .

(1)、求定义域 $M$ ；

(2)、当 $x \in M$ 时，求 $g (x) = 2^{x + 2} - 3 \times 4^{x}$ 的最值及相应的 $x$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{m - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若对任意的 $t \in [0 ， 5]$ ，不等式 $f (t^{2} + 2 t + k) + f (- 2 t^{2} + 2 t - 5) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = | x - a |$ ， $g (x) = x^{2} + 2 a x + 1$ （a为正常数），且函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象与y轴的交点重合.

(1)、求a实数的值

(2)、若 $h (x) = f (x) + b \sqrt{g (x)}$ （b为常数）试讨论函数 $h (x)$ 的奇偶性；、

(3)、若关于x的不等式 $f (x) - 2 \sqrt{g (x)} > a$ 有解，求实数a的取值范围.

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22. 关于 $x$ 的一元二次方 $x^{2} + m x + n = 0$ 恒有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、当 $n = 3 - m$ 且两个根皆为负时，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、不等式 $t \leq {(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + {(m - n)}^{2}$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值.

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