吉林省吉林市重点中学2022-2023学年高一（平行班）上学期期末测试数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．

1. 已知集合 $A = {x ∣ x \geq 0} ， B = {x \in Z ∣ - 2 < x < 3}$ ，那么 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x < 3}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 下列函数是奇函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = 2^{x}$

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3. 已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x \geq 10 \\ f [f (x + 5)] ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (8)$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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5. 幂函数的图象过点 $(- 2 ， - \frac{1}{2})$ ，则它在 $[1 ， 2]$ 上的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设Ⅰ为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级y可定义为 $y = 0.6 l g I$ ， 2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.9级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）倍．

A、2 B、10 C、100 D、1000

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7. 在同一平面直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0)$ ， $g (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $t a n (α - \frac{π}{12}) = - 2$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、3

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9. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，设 $a = 3^{0.3} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.4} ， c = l o g_{4} \frac{10}{3}$ ，则（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (c) > f (b) > f (a)$ D、 $f (a) > f (b) > f (c)$

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10. 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为 $2 0^{∘} C$ ，但当气温上升到 $3 1^{∘} C$ 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时 $\sim 14$ 时的气温 $T$ （单位： $^{∘} C$ ）与时间 $t$ （单位：小时）近似满足函数关系式 $T = 25 + 10 s i n (\frac{π}{8} t + \frac{3 π}{4})$ ，则在6时 $\sim 14$ 时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据： $s i n \frac{π}{5} \approx 0.6$ ）

A、 $6.7$ 时 $\sim 11.6$ 时 B、 $6.7$ 时 $\sim 12.2$ 时 C、 $8.7$ 时 $\sim 11.6$ 时 D、 $8.7$ 时 $\sim 12.2$ 时

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的定义域是 $(- 1 ， 1)$ B、函数 $y = \frac{1}{x}$ 在其定义域上单调递减 C、函数 $y = 2^{1 - x}$ 的值域是 $(0 ， + \infty)$ D、函数 $y = l o g_{a} (x - 1) + 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象过定点 $(2 ， 2)$

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12. 下列结论中正确的有（）

A、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + m = 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(4 ， + \infty)$ B、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” C、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 D、当 $x > 0$ 时， $x + \frac{2}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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13. 下列各式中，值为 $\sqrt{3}$ 的是（）

A、 $2 (c o s^{2} \frac{π}{12} - c o s^{2} \frac{5 π}{12})$ B、 $\frac{1 + t a n 15 °}{1 - t a n 15 °}$ C、 $c o s 15 ° - \sqrt{3} s i n 15 °$ D、 $s i n 15 ° c o s 15 °$

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14. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图中实线所示，图中圆 $C$ 与 $f (x)$ 的图象交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $M$ 在 $y$ 轴上，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{7 π}{12} ， - \frac{π}{3})$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、若圆半径为 $\frac{5 π}{12}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = \frac{\sqrt{3} π}{6} s i n (2 x + \frac{π}{3})$

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三、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

15. 计算： $8^{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(2 7^{- \sqrt{2}} + 1 6^{2 \sqrt{3}})}^{0} + 2 5^{l o g_{5} 2} =$ ．

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16. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3 ， \sqrt{3})$ ，则 $t a n (- α) + s i n (\frac{π}{2} + α) =$ ．

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17. 已知 $α$ 为钝角， $β$ 为钝角满足 $c o s α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β =$ ．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的增函数，并且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) ， f (2) = 1$ ．若 $f (x - 2) + f (x) < 3$ ，求x的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + 4 \sqrt{3} s i n x c o s x - 2 s i n^{2} x$ ，则函数 $f (x)$ 的对称轴的方程为．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (π x + φ) (| φ | < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{6} ， 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2 ， a]$ 内有4个零点，则a的取值范围为．

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四、解答题：共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21. 已知关于x的不等式 $x^{2} + m x - 12 < 0$ 的解集为 $(- 6 ， 2)$ ．

(1)、求实数m的值；

(2)、正实数a ， b满足 $a + m b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

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22. 某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用 $f (x)$ 万元，产量不同其费用也不同，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} ， 0 < x < 10 ， \\ 9 x + l g x - 41 ， x \geq 10 . \end{array}$ 已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

(2)、该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？

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23. 函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间，对称中心；、

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，并求函数 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{3}]$ 的值域．

(3)、函数 $h (x) = f (x) - \sqrt{3} c o s (2 x + \frac{π}{3})$ ，已知 $h (α) = - \frac{6}{5} ， - \frac{π}{2} < α < 0$ ，求 $c o s α - s i n α$ ．

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24. 定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，已知当 $x \in [- 4 ， 0]$ 时， $f (x) = \frac{1}{4^{x}} + \frac{a}{3^{x}}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $\exists x \in [- 2 ， - 1]$ 使不等式 $f (x) \leq \frac{m}{2^{x}} - \frac{1}{3^{x}} - 1$ 成立，求实数m的取值范围；

(3)、设 $h (x) = \frac{1}{x} + x - 2$ ，若 $h (| 2^{x} - 1 |) + k \cdot \frac{3}{| 2^{x} - 1 |} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围

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