湖南省娄底市涟源市第二中学2022-2023学年高一上学期期数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 5}$ B、 ${2 ， 3 ， 5}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${2}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x > s i n x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x \leq s i n x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x \geq s i n x$ C、 $\exists x \in R$ ， $x > s i n x$ D、 $\exists x \in R$ ， $x \leq s i n x$

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3. 若 $1 < a < 2$ ， $- 1 < b < 3$ ，则 $a - b$ 的值可能是（）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{1 + x} + \frac{1}{x}$ 的定义域是（　　）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ D、R

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5. 设 $a = {0.5}^{0.4} ， b = \log_{0.5} 0.3 ， c = \log_{8} 0.4$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (x ， - 3)$ ，且 $t a n α = - \frac{3}{4}$ ，则 $c o s α =$

A、 $\pm \frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知 $\cos x = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos 2 x =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x - 1) ， x > 0 ， \\ - l n (x + e) + 2 ， x \leq 0 . \end{array}$ 则 $f (2022)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.

9. 对于实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} \geq b c^{2}$ C、若 $a > 0 > b$ ，则 $a b < a^{2}$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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10. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{4}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = l o g_{a} x$ 的图像过定点 $(0 ， 1)$ B、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有且只有两个零点 C、函数 $y = 2^{| x |}$ 的最小值是1 D、在同一坐标系中函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图像关于 $y$ 轴对称

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12. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x + \frac{7 π}{12})$ 是奇函数. C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{17 π}{12} ， - \frac{5 π}{12}]$ 上单调递增 D、直线 $x = - \frac{17 π}{12}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴

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三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.

13. 已知 $a > 0 ， b > 0$ 且 $a + b = 1$ . 则ab的最大值为.

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14. 若函数 $f (x) = a + l o g_{7} x$ 在区间 $(1 ， 7)$ 上有零点，则实数a的取值范围．

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15. 已知 $α ， β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{4}{5} ， \cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $\sin β$ =

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16. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 6 x - 1$ 在 $(- 1 ， 1)$ 内恰有一个零点，则实数a的取值范围为．

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四、解答题：共6小题，共70分.

17. 已知 $A = {x | x > - 2}$ ， $B = {x | x < 3}$ ， $P = {x | x > a}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ 及 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 设函数f(x)=ax²+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)、若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a ， b的值；

(2)、若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

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19. 设 $f (x) = \log_{a} (1 + x) + \log_{a} (3 - x) (a > 0 ， a \neq 1)$ ，且 $f (1) =2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{3}{2}]$ 上的最大值.

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20. 已知 $f (x - 1) = x + \frac{1}{x - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及定义域；

(2)、求 $f (x)$ 的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果）

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21.

(1)、已知 $t a n α = - \frac{1}{3}$ ．求 $\frac{s i n (2 α + 2 π) - s i n^{2} (\frac{π}{2} - α)}{1 - c o s (π - 2 α) + s i n^{2} α}$ 的值．

(2)、已知函数 $f (x) = c o s x s i n (π - x) + \sqrt{3} s i n^{2} x - \sqrt{3} ， x \in R$ .求 $f (x)$ 的解析式及最小正周期.

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22. 某企业生产A ， B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．

(1)、分别求A ， B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；

(2)、已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A ， B两种产品的生产．
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？

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