湖北省黄冈市浠水县实验高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合 $A = {x | 1 \leq x + 1 < 5}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 4}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 4}$ D、 ${x | x < 4}$

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2. 设 $a = 5^{0.7}$ ， $b = s i n 2$ ， $c = l o g_{6} 0.2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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3. 设命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ，使 $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + a = 0 (a \in R)$ ，则使得 $p$ 为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > - 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a < 0$

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4. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、2

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5. 已知函数 $f (x - 2)$ 的定义域为 $(- 1 ， 3)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (- x)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(3 ， 7)$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} c o s 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x - \frac{π}{4})$ ，其中 $ω > 0$ .若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 4]$ D、 $[1 ， \frac{5}{2}]$

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8. 已知定义在R上的函数 $y = f (x)$ 对于任意的x都满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $- 1 ⩽ x < 1$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - l o g_{a} | x |$ 至少有6个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{5}] \cup (5 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{5}) \cup [5 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{7} ， \frac{1}{5}) ∪ (5 ， 7)$ D、 $(\frac{1}{7} ， \frac{1}{5}) \cup [5 ， 7)$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 若函数 $f (x) = c o s^{2} x + 2 s i n x$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， θ]$ 的最大值为2，则 $θ$ 的可能取值为（）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $π$

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10. 已知实数 $a ， b$ 均不为1，且满足 $a > b > 0$ ，则下列关系式中恒成立的是（）

A、 $a b < a^{2}$ B、 $a - \frac{1}{2 a} > b - \frac{1}{2 b}$ C、 $(\frac{4}{5})^{a} > (\frac{4}{5})^{b}$ D、 $l o g_{b} a > 1$

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11. 下列各小题中， $p$ 是 $q$ 的充要条件的是（）

A、p： $m < - 2$ 或 $m > 6$ ；q： $y = x^{2} + m x + m + 3$ 有两个不同的零点； B、p： $\frac{f (- x)}{f (x)} = 1$ ；q： $y = f (x)$ 是偶函数； C、p： $c o s α = c o s β$ ；q： $t a n α = t a n β$ ； D、p： $A ∩ B = A$ ；q： $∁_{U} B \subseteq ∁_{U} A .$

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12. 给出定义：若 $m - \frac{1}{2} < x ⩽ m + \frac{1}{2}$ （其中 m为整数)，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作 ${x} = m .$ 设函数 $f (x) = | x + {x} |$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 为 $[0 ， + \infty)$ 的增函数 B、函数 $y = f (x)$ 为偶函数 C、函数 $y = f (x) (- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ \frac{3}{2})$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、函数 $f (x) = 2 x$ 有无数个解

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m^{2} - 5 m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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14. 在等式 $1 = \frac{1}{□} + \frac{9}{□}$ 的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数的积为.

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15. 已知函数 $f (x) = l g x + \frac{1 - x}{1 + x}$ .若 $f (a) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{a}) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = a x - 2$ ， $g (x) = l o g_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} - 1}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 化简求值：

(1)、 $(0.008)^{\frac{2}{3}} \div \frac{4}{25} + t a n \frac{11 π}{4} + c o s (l o g_{2} 1) + (\frac{125}{64})^{\frac{1}{3}} ；$

(2)、 $l g 5 + 1 1^{l o g_{121} 2} - 2 l o g_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} - l o g_{0.1} 2 .$

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18. 集合 $A = {x | \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{4}} ， B = {x | \frac{\sqrt{2}}{2} \leq c o s x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} ， x \in (0 ， π)}$ ， $C = {x | - 2 a \leq x \leq a - 2}$ .

(1)、求 $(A \cup B) \cap (A \cap B)$

(2)、若“ $\forall x \in C ，$ 则 $x ∈ B$ ”是假命题，求实数a的取值范围；

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + \frac{π}{6}) (A > 0 ， ω > 0)$ 的最大值为2且两相邻零点的距离的绝对值为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) + 1 = 0$ 在区间 $[- π ， π]$ 上所有解的和.

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20. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型 $y = k a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 与 $y = p x^{\frac{1}{2}} + k (p > 0 ， k > 0)$ 可供选择．

(1)、试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

(2)、求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4711$ ）

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21. 已知 $s i n θ + c o s θ = \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4}) = t$ ， $θ \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ．

(1)、当 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $s i n^{3} θ - c o s^{3} θ$ 的值；

(2)、求函数 $f (θ) = (s i n θ + c o s θ) - s i n θ c o s θ$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上为减函数；

(2)、求函数 $y = l n f (t a n x)$ 的定义域，并求其奇偶性；

(3)、若存在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，使得不等式 $f (t a n x) + a t a n x \leq 0$ 能成立，试求实数a的取值范围

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