黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期期末联考数学试卷

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、､单选题：本题共8个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1 - i}{i (1 + i)}$ ，则（）

A、复数 $z$ 实部为1 B、复数 $z$ 虚部为0 C、 $| z | = \sqrt{2}$ D、在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {y ∣ y = x^{2} - 2 x ， x \in A}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 3}$

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3. 已知直线 $m ， n$ ，平面 $α ， β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ∩ β = l$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ n$ 是 $α ⊥ β$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，已知方程 $| f (x) | = 1$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有2个根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{5}{8} ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{7}{8} ， \frac{11}{8})$ D、 $[\frac{7}{8} ， \frac{11}{8}]$

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5. 下列函数的图象不可能与直线 $y = 2 x + m ， m \in R$ 相切的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + x$ B、 $f (x) = x^{3} + e^{x}$ C、 $f (x) = l n x + \frac{x^{2}}{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x} + 2 x$

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{- x} (1 - a^{x}) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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7. 过正四棱锥 $P - A B C D$ 的高 $P H$ 的中点作平行于底面 $A B C D$ 的截面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ ，若四棱锥 $P - A B C D$ 与四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积之比为 $\frac{12}{11}$ ，则直线 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l： $y = 2 x$ 上在第一象限内的点， $B (5 ， 0)$ ，以AB为径的圆C与直线交于另一点 $D$ .若 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则A点的横坐标为（）

A、 $- 1$ B、3 C、3或 $- 1$ D、2

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二、､多选题：本题共4个小题，在每个小题给出的选项中，有多个符合题目要求．

9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆内部，点 $Q$ 在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、离心率的取值范围为 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $| Q F_{1} | \cdot | Q F_{2} |$ 的最小值为4 C、不存在点 $Q$ ，使得 ${\vec{Q F}}_{1} \cdot {\vec{Q F}}_{2} = 0$ D、当 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，以点 $P$ 为中点的椭圆的弦的斜率为1

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10. 下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $x < 0$ 时， $f (x) = - l n (- x)$ ，则 $x > 0$ 时， $f (x) = - l n x$ B、若 $l o g_{a} \frac{1}{2} < 1$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、为了得到函数 $y = l o g_{2} \sqrt{x - 1}$ 的图象，可将函数 $y = l o g_{2} x$ 图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 D、设 $x_{1}$ 满足 $x + l n x = 2 ， x_{2}$ 满足 $l n (1 - x) - x = 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 1$

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11. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = λ A B$ ，点 $E ， F ， G$ 分别是 $B C ， C D ， C C_{1}$ 的中点，点 $M$ 是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、存在 $M$ ，使得 $A M$ $∥$ 平面 $E F G$ B、当 $λ > 1$ 时，存在 $M$ ，使得 $C M ⊥$ 平面 $E F G$ C、存在 $M$ ，使得平面 $M B C_{1}$ $∥$ 平面 $E F G$ D、存在 $λ$ ，使得平面 $M B_{1} C ⊥$ 平面 $E F G$

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12. 已知数列 ${a_{n}} ， b_{n} = a_{n + 1} + (- 1)^{n} a_{n}$ ，则（）

A、当 $a_{n} = n$ 时，数列 ${b_{2 n}}$ 是公差为2的等差数列 B、当 $a_{n} = n$ 时，数列 ${b_{n}}$ 的前16项和为160 C、当 $b_{n} = n$ 时，数列 ${a_{n}}$ 前16项和等于72 D、当 $b_{n} = n$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和

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三、､填空题：本题4个小题．

13. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1) ， | \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ .

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14. 已知数列{a_n}满足a₄+a₇＝2，a₅a₆＝﹣8，若{a_n}是等差数列，则a₁a₁₀＝；若{a_n}是等比数列，则a₁+a₁₀＝.

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15. 如图，圆 $O$ 与 $x$ 轴的正半轴的交点为 $A$ ，点 $C$ ， $B$ 在圆 $O$ 上，且点 $C$ 位于第一象限，点 $B$ 的坐标为 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ ， $∠ A O C = α$ .若 $| B C | = 1$ ，则 $\sqrt{3} c o s^{2} \frac{α}{2} - s i n \frac{α}{2} c o s \frac{α}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的值为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点 $A$ ，左焦点 $F$ ，过 $C$ 的右焦点做 $x$ 轴的垂线， $P$ 为垂线上一点，当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{5}$ 时， $s i n ∠ A P F$ 最大值为.

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四、解答题：解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 已知双曲线 $C$ 的实轴长为4，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有公共的焦点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (5 ， 0)$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上的任意一点，求 $| P M |$ 的最小值．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，顶点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影恰为点 $B$ ，且 $A B = A C = A_{1} B = 2$ ．

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、 $P$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 中点，求平面 $P A B$ 和平面 $A B A_{1}$ 夹角的余弦值．

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19. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n} + a_{n + 1} = \frac{1}{3^{n}}$ ．

(1)、令 $b_{n} = 3^{n - 1} a_{n} - \frac{1}{4}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $S_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 3^{2} a_{3} + ⋯ + 3^{n - 1} a_{n}$ ，证明：数列 ${4 S_{n} - 3^{n} a_{n}}$ 是等差数列．

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20. 在 $△ B C D$ 中， $∠ D = 9 0^{∘}$ ，点A在线段 $B D$ 上， $A D = 2 ， ∠ A C B = α$ ，且 $2 α + 3 B = 18 0^{∘}$ ， $A C = 2 a ， B C = 3 a$ ，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $A B$ 的值和 $△ B C D$ 的面积．

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21. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是 $E$ ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 $F$ ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 $F$ ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点 $F$ 到圆心 $E$ 的距离为4，按上述方法折纸.以点 $F ， E$ 所在的直线为 $x$ 轴，线段 $E F$ 中点为原点建立平面直角坐标系.

(1)、若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段 $A E$ 交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)、记（1）问所得图形为曲线 $C$ ，若过点 $Q (1 ， 0)$ 且不与 $y$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，在 $x$ 轴的正半轴上是否存在定点 $T (t ， 0)$ ，使得直线 $T M ， T N$ 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $- 1 \leq a \leq 1$ ，函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a s i n x - 1$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ .

(1)、讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、设 $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导数.证明：
（i） $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；
（ii）当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 时，若 $| f' (x) | \leq M$ ，则 $| f (x) | \leq M$ .

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