河北省邢台市部分重点高中2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{18} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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2. 已知某数列为 $- 2 ， \frac{3}{4} ， - \frac{4}{9} ， \frac{5}{16} ， - \frac{6}{25} ， ⋯$ ，按照这个规律，则该数列的第10项是（）

A、 $- \frac{10}{81}$ B、 $\frac{10}{81}$ C、 $- \frac{11}{100}$ D、 $\frac{11}{100}$

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 2 ， S_{5} = - 5$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $- 4$ D、 $- 5$

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4. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0} ， 4)$ 在 $C$ 上， $| F P | = 5$ ，则直线 $F P$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{2}$ B、 $\pm \frac{2}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $\pm \frac{3}{4}$

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5. 现有一根4米长的木头，第一天截掉它的 $\frac{1}{2}$ ，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的 $\frac{1}{2}$ ，到第 $n$ 天时，共截掉了 $\frac{63}{16}$ 米，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知 $P$ 为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点， $Q$ 为圆 $M ： (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 64$ 上一动点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ， a_{17}$ 是方程 $x^{2} + 2023 x + 25 = 0$ 的两个实根，则 $a_{9} =$ （）

A、-5 B、±5 C、5 D、25

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8. 已知 $A ， B$ 是抛物线 $C ： y^{2} = x$ 上的两点， $A$ 与 $B$ 关于 $x$ 轴对称， $D (3 ， 0)$ ，则 $| A B |^{2} + | A D |^{2}$ 的最小值为（）

A、9 B、 $\frac{35}{4}$ C、 $\frac{17}{2}$ D、8

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，且 $a_{2} + a_{6} = 2 ， a_{5} < 0$ ，则（）

A、 $a_{4} = 1$ B、 $S_{7} = 7$ C、 $a_{1} < 0$ D、 $d < 0$

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10. 已知直线 $l ： x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 与圆 $M ： (x - a)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $P$ 为优弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点（不包括 $A ， B$ ），若 $∠ A P B = \frac{π}{3} ， | A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、2 B、-4 C、1 D、-3

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3 \times 4^{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 24$ B、 ${\frac{a_{n}}{4^{n}}}$ 为等比数列 C、 $S_{10} = \frac{29 \times 4^{10} + 1}{3}$ D、 $l o g_{2} (4 a_{100} - 3 S_{100} + 1) = 200$

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $m x + y - 3 = 0$ 与C交于 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} = λ x_{2}$ ，则实数 $λ$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、3 D、4

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = | - n^{2} - n + 7 |$ ，则 $a_{3} =$ .

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14. 若点 $(1 ， 2)$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为3，请写出一个 $C$ 的标准方程：.

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{13} = 1 ， S_{26} = 9$ ，则 $S_{52} =$ .

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16. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， 16 S_{6} = 21 S_{2} = 504$ ，则该数列的公比 $q =$ ， $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = 3 ， S_{4} = 160$ .

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、若在 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.

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18. 已知椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点坐标为 $(m ， \frac{1}{2})$ ，求 $m$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{1} + \frac{a_{2}}{2} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n} = n^{2} + 2 n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2 a_{n} + 6 n + 3}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线 $C$ 经过 $P (2 ， \sqrt{2}) ， Q (3 ， 2 \sqrt{3})$ 两点.

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若直线 $l ： x = m y + 2$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{7}$ ，求 $m^{2}$ .

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21. 已知点 $A_{1} (1 ， 2)$ ， $A_{2} (2 ， 3)$ ，设 $A_{n} (a_{n} ， b_{n}) (n \in N^{*})$ ，当 $n \geq 3$ 时，线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点为 $B_{n}$ ， $B_{n}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点为 $A_{n}$ .例如， $B_{3}$ 为线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点，则 $B_{3} (\frac{3}{2} ， \frac{5}{2})$ ， $A_{3} (\frac{5}{2} ， \frac{3}{2})$ .

(1)、设 $c_{n} = a_{n + 1} + b_{n + 1} - a_{n} - b_{n}$ ，证明： ${c_{n}}$ 是等比数列.

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的通项公式.

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22. 已知抛物线 $Ω ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，且A ， B ， C三个不同的点均在 $Ω$ 上.

(1)、若直线AB的方程为 $8 x + y - 46 = 0$ ，且点F为 $△ A B C$ 的重心，求p的值；

(2)、设 $p = 2$ ，直线AB经过点 $M (2 ， 2)$ ，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且 $M D ⊥ A C$ ，求点D的轨迹方程.

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