湖南省永州市2023-2024年高三一模数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $A = \{x \in N^{*} |y = \sqrt{4 - x^{2}}\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{0，1 ， 2\}$ D、 $\{1，2\}$

查看试题解析
2. 复数 $z$ 满足 $i^{5} \cdot z = 1 + i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1，2) ， \vec{b} = (3 ， - 1) ， \vec{c} = (x ， 1)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $x =$ （）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

查看试题解析
4. “函数 $f (x) = x^{a}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减”是“函数 $g (x) = x^{4} - (a + 1) x$ 是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 在平面直角坐标系中，过直线 $2 x - y - 3 = 0$ 上一点 $P$ 作圆 $C ： x^{2} + 2 x + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A 、 B$ ，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上位于第一象限的一点，且 $P F_{2}$ 与 $y$ 轴平行，直线 $P F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，若 $2 \vec{P F_{1}} = 5 \vec{F_{1} Q}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{11}$

查看试题解析
7. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， 2 S_{n} a_{n} = a_{n}^{2} + 1 (n \in N^{*} ， a_{n} > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2022} a_{2023} > 1$ B、 $a_{2023} > \sqrt{2023}$
C、 $S_{2023} < \sqrt{2022}$ D、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{100}} < 19$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 3 c o s (ω x + φ) (ω > 0)$ ，若 $f (- \frac{π}{4}) = 3 ， f (\frac{π}{2}) = 0$ ，在区间 $(- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{6})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值共有（）

A、 $4$ 个 B、 $5$ 个 C、 $6$ 个 D、 $7$ 个

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列关于概率统计说法中正确的是（）

A、两个变量 $x ， y$ 的相关系数为 $r$ ，则 $r$ 越小， $x$ 与 $y$ 之间的相关性越弱
B、设随机变量 $ξ \sim N (2，1)$ ，若 $p (ξ > 3) = p$ ，则 $p (1 < ξ < 2) = \frac{1}{2} - p$
C、在回归分析中， $R^{2}$ 为 $0.89$ 的模型比 $R^{2}$ 为 $0.98$ 的模型拟合得更好
D、某人解答 $10$ 个问题，答对题数为 $X ， X \sim B (10，0.8)$ ，则 $E (X) = 8$

查看试题解析
10. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数 $N$ 可以表示成 $N = a \times 1 0^{n} (1 \leq a < 10 ， n \in Z)$ 的形式，两边取常用对数，则有 $l g N = n + l g a$ ，现给出部分常用对数值 $($ 如下表 $)$ ，下列结论正确的是（）
真数 $x$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$10$
$l g x ($ 近似值 $)$
$0.301$
$0.477$
$0.602$
$0.699$
$0.778$
$0.845$
$0.903$
$0.954$
$1.000$
真数 $x$
$11$
$12$
$13$
$14$
$15$
$16$
$17$
$18$
$19$
$l g x ($ 近似值 $)$
$1.041$
$1.079$
$1.114$
$1.146$
$1.176$
$1.204$
$1.230$
$1.255$
$1.279$

A、 $5^{10}$ 在区间 $(1 0^{6} ， 1 0^{7})$ 内
B、 $3^{50}$ 是 $15$ 位数
C、若 $7^{- 50} = a \times 1 0^{m}$ ，则 $m = - 43$
D、若 $m^{30} (m \in N^{*})$ 是一个 $35$ 位正整数，则 $m = 14$

查看试题解析
11. 菱形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，且 $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ ，将 $▵ A B D$ 沿 $B D$ 向上翻折得到 $▵ P B D$ ，使二面角 $P - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，连接 $P C$ ，球 $O$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的 $6$ 条棱都相切，下列结论正确的是（）

A、 $P O ⊥$ 平面 $B C D$
B、球 $O$ 的表面积为 $2 π a^{2}$
C、球 $O$ 被三棱锥 $P - B C D$ 表面截得的截面周长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a$
D、过点 $O$ 与直线 $P B ， C D$ 所成角均为 $\frac{π}{4}$ 的直线可作 $4$ 条

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 1) + g (x - 2) = 3 ， f (x - 1) - g (- x) = 1$ ，且 $g (- 1) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，下列结论正确的是（）

A、 $4$ 为 $f (x)$ 的一个周期 B、 $g (3) = 1$
C、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 4045$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) = 2023$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有 $《$ 走，去永州 $》《$ 扬鞭催马运粮忙 $》《$ 数幸福 $》《$ 乡村振兴唱起来 $》$ 四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求 $《$ 数幸福 $》$ 与 $《$ 乡村振兴唱起来 $》$ 相邻，则不同的排列种数为 $($ 用数字作答 $)$ ．

查看试题解析
14. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{D A} = \vec{a} ， \vec{D C} = \vec{b} ， \vec{D D_{1}} = \vec{c} ， P$ 为 $D D_{1}$ 的中点，过 $P B$ 的平面 $α$ 分别与棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 交于点 $E ， F$ ，且 $A E = C F$ ，则 $\vec{B P} + \vec{E F} =$ $($ 用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $)$ ．

查看试题解析
15. 若函数 $f (x) = \frac{(e^{t x} + 2) t x}{x + 2} - l n x$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) > 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围．

查看试题解析
16. 已知点 $N (a ， 2 \sqrt{3}) (a > 0)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (0 < p < 2 a)$ 上， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，圆 $N$ 与直线 $x = \frac{p}{2}$ 相交于 $A 、 B$ 两点，与线段 $N F$ 相交于点 $R$ ，且 $|A B| = 2 \sqrt{5} |R F| .$ 若 $R$ 是线段 $N F$ 上靠近 $F$ 的四等分点，则抛物线 $C$ 的方程为．

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比 $q > 1$ 的等比数列，前三项和为 $39$ ，且 $a_{1} ， a_{2} + 6 ， a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{3} a_{2 n - 1} \cdot l o g_{3} a_{2 n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，设 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $c c o s A - a c o s C = a + b$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 5 ， ∆ A B C$ 的内切圆半径 $r = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P A D$ 为正三角形，且 $A D = 2 A B = 4 ， M 、 N$ 分别为 $P D 、 B C$ 的中点， $H$ 在线段 $P C$ 上，且 $P C = 3 P H$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $A M ⊥ P C$ 时，求平面 $A M N$ 与平面 $H M N$ 的夹角的余弦值．

查看试题解析
20. 某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 $A 、 B 、 C$ ，其中 $A 、 B 、 C$ 能通过行业标准检测的概率分别为 $\frac{4}{5} ， \frac{6}{7} ， \frac{9}{10}$ ，且 $A 、 B 、 C$ 是否通过行业标准检测相互独立．

(1)、设新品 $A 、 B 、 C$ 通过行业标准检测的品种数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、已知新品 $A$ 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为 $0.025$ ，现从足量的新品 $A$ 中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过 $n .$ 如果抽取次数的期望值不超过 $5$ ，求 $n$ 的最大值．
参考数据： $0.97 5^{4} \approx 0.904，0.97 5^{5} \approx 0.881，0.97 5^{6} = 0.859，0.97 5^{7} = 0.838，0.97 5^{8} = 0.817$

查看试题解析
21. 已知点 $A$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{10} x - 6 = 0$ 上任意一点，点 $B$ 的坐标为 $(- \sqrt{10} ， 0)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线与直线 $A C$ 交于点 $D$ ．

(1)、求点 $D$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴分别交于 $A_{1} ， A_{2}$ 两点 $(A_{1}$ 在 $A_{2}$ 的左侧 $)$ ，过 $R (3，0)$ 的直线 $l$ 与轨迹 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 的交于 $P$ ，证明： $P$ 在定直线上．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) ， g (x) = a x e^{x} - 2 l n a + 3 l n 2 + 3$ ．

(1)、当 $x \in (- 1，0) \cup (0 ， + \infty)$ 时，求证： $\frac{f (x)}{x} > - \frac{1}{2} x + 1$ ；

(2)、若 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 时， $g (x) \geq f (x)$ ，求实数a的取值范围．

查看试题解析

真数 $x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$l g x ($ 近似值 $)$	$0.301$	$0.477$	$0.602$	$0.699$	$0.778$	$0.845$	$0.903$	$0.954$	$1.000$
真数 $x$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
$l g x ($ 近似值 $)$	$1.041$	$1.079$	$1.114$	$1.146$	$1.176$	$1.204$	$1.230$	$1.255$	$1.279$