重庆市荣昌区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-10 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）

1. 已知集合 $A = {x \in N | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | - 2 \leq x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in R^{+}$ ， $x^{3} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R^{+}$ ， $x^{3} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \notin R^{+}$ ， $x^{3} - x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \notin R^{+}$ ， $x^{3} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R^{+}$ ， $x^{3} - x + 1 \leq 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x - 2} ， x \leq 1 ， \\ f (x - 4) ， x > 1 ， \end{array}$ 则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 下列函数中既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = 9 - x^{2}$ D、 $y = | x |$

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5. 已知函数的值域 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ 2_{}^{x} - a ， x \geq 0 \end{cases}}$ 为R，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、（﹣∞，1] D、[1，+∞）

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6. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量 $N (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.12 t - 0.88}}$ （t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当 $N (t^{*}) = 0.9 K$ 时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级別，此时 $t^{*}$ 约为（ $l n 9 \approx 2.20$ ）（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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7. 设 $a = 0 . 3^{0.4} ， b = 0 . 4^{0.3} ， c = l o g_{0.4} 0.3$ ，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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8. 已知两个正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x y}{x + 4 y}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、6 D、9

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二、nbsp;、多选题（本小题共四小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个符合要求的选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知实数a，b，c，若 $a > b > 0 > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $a + c < b + c$ D、 $a - b > c$

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10. 下列命题是真命题的是（）

A、函数 $y = l g 1 0_{}^{x}$ 与 $y = 1 0_{}^{l g x}$ 是同一函数 B、函数 $f （ x ）$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ C、不等式 $\frac{x - 2}{x} > 0$ 的解集是 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、设a， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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11. 已知 $a^{x} = b^{- x}$ ，函数 $y = l o g_{a} (- x)$ 与 $y = b^{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 19世纪，德国数学家狄利克雷（ $P . G . D i r i c h l e t$ ， 1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数， \\ 0 ， x 为无理数， \end{array}$ 称为狄利克雷函数，则（）

A、 $D (x - \sqrt{2}) = 0$ B、 $D (x) = D (- x)$ C、若 $T$ 为有理数， $T \neq 0$ ，则 $D (x + T) = D (x)$ D、存在三个点 $A (x_{1} ， D (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， D (x_{2}))$ ， $C (x_{3} ， D (x_{3}))$ ，使得 $△ A B C$ 为正三角形

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 若函数 $f (x) = l o g_{a}^{} (2 x + 1) - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过的定点.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，在区间 $(- \infty ， 0]$ 是增函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为.

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15. 已知函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的单调递增区间为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - (a + 2) x + 2 a ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ （ $a \in R$ ）的最小值为2，则实数a的取值范围是．

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四、nbsp;、解答题（共 70分，本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分）

17. 计算下列各式．

(1)、 $0.000 1^{- \frac{1}{4}} - 2 7^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{(\frac{27}{8})^{2}}$

(2)、 $l o g_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + l g 25 + l g 4 + 7^{l o g_{7} 2} + l o g_{2} 3 \times l o g_{3} 4$

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18. 设集合 $A = {x | l o g_{\frac{1}{2}} (2 x + 4) > l o g_{\frac{1}{2}} (x + 9)}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} - m - 1 < 0}$ .

(1)、 $B$ 为空集，求 $m$ 得取值范围；

(2)、若 $A \supseteq B$ ，求m的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = {log}_{a} (3 + x) + {log}_{a} (3 - x)$ ， $（ a > 0$ ，且 $a \neq 1 ）$ ， $f (1) = 3$ ．

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的定义城；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并给出证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的值域．

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20. 已知点 $(\sqrt{2} ， 2)$ 在幂函数 $f (x)$ 的图像上.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + a x + 3$ ， $x \in [1 ， + ∞)$ 是否存在实数a，使得 $g (x)$ 最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由

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21. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝ ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 4 x ， 0 < x < 8 \\ 11 x + \frac{49}{x} - 35 ， x \geq 8 \end{array}$ 每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

(1)、写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．

(2)、年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f （（ \frac{1}{4} ）^{x} ） + f （ 4 - 5 k \cdot （ \frac{1}{2} ）^{x} ） < 0$ 在 $R$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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