安徽省安庆市重点学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-09 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题）

1. 已知抛物线 $y = x^{2} - 8 x + c$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $c$ 的值为（）

A、16 B、 $- 4$ C、4 D、8

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2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ $\sqrt{3}$ ，那么∠B的度数是（）

A、15° B、45° C、30° D、60°

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3. 若双曲线 $y = \frac{2 a + 4}{x}$ 位于第一、三象限，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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4. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则 $s i n ∠ A B C$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，且 $D E / / B C$ ，若 $S_{△ A D E}$ ： $S_{△ A B C}$ =1：4，则 $\frac{D E}{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在第一象限， $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象与线段 $A B$ 交于点 $C$ ，且 $A B = 3 B C$ .若 $△ A O B$ 的面积为12，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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7. 某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆 $A B$ 的高度，他们在 $C$ 点测得旗杆顶端 $A$ 的仰角 $∠ B C A = 30 °$ ，向前走了30米到达 $D$ 点，在 $D$ 点测得旗杆顶端A的仰角 $∠ B D A = 60 °$ ，则旗杆 $A B$ 的高为多少米？（）

A、15米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{2}$ 米 D、 $15 \sqrt{5}$ 米

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8. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象如图，则一次函数 $y = - \frac{1}{4} x - 2 b$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（）

A、8 B、4 $\sqrt{5}$ C、10 D、8 $\sqrt{2}$

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10. 对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，规定函数 $y = {\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c (x \geq 0) \\ - a x^{2} - b x - c (x < 0) \end{array}$ 是它的相关函数.已知点 $M$ ， $N$ 的坐标分别为 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ ， $(\frac{9}{2} ， 1)$ ，连接 $M N$ ，若线段 $M N$ 与二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + n$ 的相关函数的图象有两个公共点，则 $n$ 的取值范围为（）

A、 $- 3 < n \leq - 1$ 或 $1 < n \leq \frac{5}{4}$ B、 $- 3 < n < - 1$ 或 $1 \leq n \leq \frac{5}{4}$ C、 $n \leq - 1$ 或 $1 < n \leq \frac{5}{4}$ D、 $- 3 < n < - 1$ 或 $n \geq 1$

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二、填空题（共4小题）

11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，且经过点 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(- 3 ， y_{2})$ ，试比较 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小： $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“=”）.

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12. 若 $\frac{x + y}{x} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{x - y}{x + y} =$ .

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，若 $\frac{A E}{E C} = \frac{5}{3}$ ，则 $t a n ∠ A =$ .

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14. 如图，将矩形 $A B C D$ 折叠，使得点 $D$ 落在 $A B$ 边的三等分点 $G$ 上，且 $B G < A G$ ，点 $C$ 折叠后的对应点为 $H$ ，折痕为 $E F$ ，连接 $B H$ ，若 $t a n ∠ A E G = \frac{4}{3}$ ， $E F = 3 \sqrt{5}$ ，则 $B H$ 的长为.

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三、解答题（共6小题）

15. 计算： $\sqrt{2} s i n 45 ° - \sqrt{3} t a n 60 ° + s i n 30 ° t a n 45 °$

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 4)$ ， $C (- 3 ， 2)$ ．

(1)、以原点O为位似中心，位似比为 $1 ： 2$ ，在y轴的左侧，画出 $△ A B C$ 放大后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出 $C_{1}$ 点坐标．

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17. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对称中心是坐标原点 $O$ ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与 $A D$ 边交于 $E (- 4 ， \frac{1}{2})$ ， $F (m ， 2)$ 两点.

(1)、求 $k$ ， $m$ 的值；

(2)、写出函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象在菱形 $A B C D$ 内 $x$ 的取值范围.

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18. 如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面 $A E$ 的倾斜角 $∠ E A D$ 为 $22 °$ ，长为3米的真空管 $A B$ 与水平线 $A D$ 的夹角为 $37 °$ ，安装热水器的铁架水平横管 $B C$ 的长度为0.9米，求安装热水器的铁架竖直管 $C E$ 的长度.（结果精确到0.1米）（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $c o s 22 ° = \frac{15}{16}$ ， $t a n 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ）

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19. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.

(1)、请求出这种水果批发价 $y$ （元/千克）与购进数量 $x$ （箱）之间的函数关系式；

(2)、若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

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20. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $G$ 是对角线 $B D$ 上一点 $($ 不与点 $B$ ， $D$ 重合 $)$ ， $E G ⊥ B D$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $F G$ ．

(1)、求证： $△ B D E$ ∽ $△ E F G$ ；

(2)、求 $∠ C F G$ 的度数；

(3)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $G$ 是 $D B$ 延长线上一点， $E G$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，且 $D E$ 恰好经过 $B C$ 的中点，如图 $2$ ，其他条件不变，求 $\frac{F G}{D G}$ 的值．

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