天津市重点中学2023-2024学年九年级上学期数学学科第二次月考试卷

试卷更新日期：2024-01-09 类型：月考试卷

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一、选择题：

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 3 ， B C = 4$ ，若以2为半径作 $⊙ C$ ，则斜边 $A B$ 与 $⊙ C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、相切 D、无法确定

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3. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴交于 $O ， A$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(6 ， 0) ， ⊙ P$ 的半径为 $\sqrt{13}$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(2 ， 2)$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 65 ° ， B C > A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上， $C$ 的对应点为 $E$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A E D$ B、 $A C = D E$ C、 $∠ C A E = 65 °$ D、 $A B = A D$

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5. 正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，正六边形的周长是12，则正六边形内切圆的半径是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ C = ∠ A E D$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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7. 如图，若 $A B ⊥ B D 、 C D ⊥ B D 、 E F ⊥ B D$ ，垂足分别是 $B 、 D 、 F$ ，且 $A B = 3 ， C D = 6$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、2 B、3 C、4.5 D、6

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8. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， $A ， B ， C ， D$ 四个点均在格点上， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $A B ， C D$ ，则 $△ A B E$ 与 $△ C D E$ 的面积比是（）

A、1∶4 B、4∶1 C、1∶2 D、2∶1

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9. 如图， $R t △ O C B$ 的斜边在 $y$ 轴上， $O C = \sqrt{3}$ ，含 $30 °$ 角的顶点与原点重合，直角顶点 $C$ 在第二象限，将 $R t △ O C B$ 绕点O顺时针旋转 $150 °$ 后得到 $O C^{'} B^{'}$ ，则 $B$ 点的对应点 $B^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ B、 $(1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(\sqrt{3} ， 0)$

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10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）

A、56° B、62° C、68° D、78°

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11. 已知二次函数 $y = - x^{2} + m^{2} x$ 和 $y = x^{2} - m^{2}$ （ $m$ 是常数）的图象与 $x$ 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）

A、 $2 m^{2}$ B、 $m^{2}$ C、4 D、2

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12. 如图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，共中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B ， B C ， C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ．有下列结论：
① $A B$ 的长可以为 $6 m$ ；
② $A B$ 的长有两个不同的值满足菜园 $A B C D$ 面积为 $192 m^{2}$ ；
③菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $200 m^{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：

13. 二次函数 $y = - 2 x^{2} - 4$ 图象的顶点坐标是．

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14. 不透明的袋子中装有9个球，其中有3个红球，6个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．

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15. 圆锥的底面半径是 $3 c m$ ，母线长 $10 c m$ ，则它的侧面展开图的圆心角的度数为．

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16. 如图，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，分别过点A ， D作 $⊙ O$ 的切线，两条切线交于点P ，则图中阴影部分的面积是.

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17. 如图，已知 $R t △ A C B ， ∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， A B = 8$ ，点 $D$ 在 $C B$ 所在直线上运动，以 $A D$ 为边作等边三角形 $A D E$ ，则 $C B =$ ．在点 $D$ 运动过程中， $C E$ 的最小值为．

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18. 如图，将线段 $A B$ 放在边长为1的小正方形网格，点 $A$ 点 $B$ 均落在格点上，
⑴ $A B$ 的长等于；
⑵请用无刻度直尺在线段 $A B$ 上画出点P ，使 $A P = \frac{2 \sqrt{17}}{3}$ 并保留作图痕迹．

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三、解答题：

19. 解下列方程

(1)、 $2 x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 1 = 0$

(2)、 $(x + 8) (x + 1) = - 12$

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20. 如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .

(1)、求证：△CEB∽△CBD ；

(2)、若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.

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21. 甲、乙两位同学相约打乒乓球．用列表法或树状图法解决下列问题：

(1)、有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A ， B ， C ， D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；

(2)、双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？

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22. 已知在 $⊙ O$ 中，弦 $C D$ 与直径 $A B$ 交于点 $P$ ．

(1)、如图①，若 $∠ B C D = 30 ° ， ∠ A P C = 50 °$ ，求 $∠ C D B$ 的度数．

(2)、如图②，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $Q$ ．若 $∠ B C D = 20 ° ， P Q = D Q$ ，求 $∠ C B D$ 的度数．

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23. 在一次足球训练中，小明从球门正前方 $8 m$ 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，球飞行的水平距离为 $8 m$ 时，球达到最高点，此时球离地面 $3 m$ ，已知球门高OB为 $2.44 m$ ，以O为原点，建立如图所示直角坐标系．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、通过计算判断球能否进球门；

(3)、若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方 $2.25 m$ 处，则该抛物线应向右平移几个单位？

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 3$ ，以点 $B$ 为中心将矩形 $A B C D$ 旋转任意角度，得到矩形 $E B G F$ ，点 $A 、 D 、 C$ 的对应点分别为 $E 、 F 、 G$ ．

(1)、如图①，当点 $E$ 落在 $C D$ 边上时，求线段 $D E$ 的长；

(2)、如图②，当点 $E$ 落在线段 $D F$ 上时， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $H$ ，求线段 $D H$ 的长；

(3)、如图③，若矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $P$ ，连接 $P F 、 P G$ ，若 $△ P F G$ 面积为 $S$ 请直接写出 $S$ 的取值范围．

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0) ， B (5 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，点 $D$ 为此抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上 $C ， D$ 两点之间的距离是；

(3)、①：点 $E$ 是第一象限内抛物线上的动点，连接 $B E$ 和 $C E$ ，求 $△ B C E$ 面积的最大值；
②：在①的条件下，当 $△ B C E$ 的面积最大时， $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E ， B P$ ，探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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