安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题

试卷更新日期：2024-01-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）

1. 下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - 1 = 2 (x - 3)$ 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（）

A、 $1 ， - 4$ B、 $- 1 ， 5$ C、 $- 1 ， - 5$ D、 $1 ， - 6$

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3. 把抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 3$ 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 如图，已知点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $O C$ 平分弦 $A B$ ，连接 $O A ， O B ， B C$ ．若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $60 °$ C、 $55 °$ D、 $50 °$

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5. 在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球 $x$ 个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ E D C$ ，使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上， $A C ， E D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ B C D = 40 °$ ，则 $∠ A F E$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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7. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $9 ， A B$ 是直径， $A C$ 是弦， $D$ 是 $A C$ 的中点，连接 $O D 、 A C$ 分别与 $B D ， O D$ 交于点 $E ， F$ ，若点 $E$ 是 $B D$ 的中点，则 $D F$ 的长是（）

A、7 B、6 C、4 D、3

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， E$ 为 $A B$ 边上一点，点 $F$ 在 $B C$ 边上，且 $B F = 1$ ，将点 $E$ 绕着点 $F$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $G$ ，连接 $D G$ ，则 $D G$ 的长的最小值为（）

A、2.5 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 (a - 2) x - a + 2$ 的图象与 $x$ 轴最多有一个公共点，且二次函数 $y = a^{2} - 2 a b - 3$ 的最小值为3，则 $b$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ 或 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ 或 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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10. 已知 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $⊙ A$ 的半径为1，D是 $B C$ 上一动点， $D M ， D N$ 分别与 $⊙ A$ 相切于点 $M ， N ， ⊙ A$ 的另一条切线 $E F$ 交 $D M ， D N$ 于点 $E ， F$ ，切点为 $G$ ，则 $△ D E F$ 周长 $l$ 的取值范围是（）

A、 $4 \sqrt{2} \leq l \leq 6$ B、 $4 \leq l \leq \sqrt{23}$ C、 $\sqrt{23} \leq l \leq 4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} \leq l \leq 2 \sqrt{10}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入 $x$ 的较小值为．

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12. 已知点 $P (m - n ， 1)$ 与点 $Q (5 ， m + n)$ 关于原点对称，则 $n^{m}$ 的值为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9 ， A D = 8$ ，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的两点，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的周长为（结果保留 $π$ ）

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 a x - a^{2} + a - 1$ 的顶点 $M$ 在第一象限．
⑴点 $M$ 的坐标是．（用含 $a$ 的式子表示）
⑵若抛物线与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，连接 $A M ， B M ， ∠ A M B = 90 °$ ，则 $a$ 的值是．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 解方程： $x^{2} - 32 = 4 x$ ．

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16. 如图，在 $8 \times 8$ 的网格中，点 $O$ 及 $△ A B C$ 的顶点 $A ， B ， C$ 均在网格的格点上．

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点 $O$ 成中心对称，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $F$ 为 $C B$ 延长线上一点，连接 $A F$ ，且 $∠ B A F = 30 °$ ，把 $△ A B F$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ A D E$ 的位置，点 $E$ 恰好落在边 $C D$ 上，求线段 $E F$ 的长．

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18. 小明将四张正面分别标有数字 $- 3 ， - 1 ， 1 ， 3$ 的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的解的概率．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，㴖分20分）

19. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数， $c < 0)$ 经过 $(1 ， 1) ， (m ， 0) ， (n ， 0)$ 三点，且 $n \geq 3$ ．

(1)、求证： $b > 0$ ；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，求 $m$ 的取值范围．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以斜边 $A B$ 上的一点 $O$ 为圆心，以 $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ，与边 $B C$ 交于点 $D$ ，与边 $A C$ 交于点 $E$ ，连接 $A D$ ，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B A C = 60 ° ， O A = 2$ ，求阴影部分的面积．（结果保留 $π$ ）

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六、（本题满分12分）

21. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y（套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．
售价x（元/套）
…
35
40
45
…
每天销售量y（套）
…
90
80
70
…

(1)、请求出y与x之间的函数关系式；

(2)、若每天销售所得利润为1200元，那么售价应定为每套多少元？

(3)、若要使每天销售所得利润不低于1200元，请写出所能确定的售价x的值．

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七、（本题满分12分）

22. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 关于 $C F$ 的对称点 $G$ 恰好在直径 $A B$ 上，连接 $C G ， D G ， A F ， D B$ ．

(1)、求证： $△ C G D$ 是等边三角形；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为2， $∠ A B C = 67.5 °$ ，求劣弧 $C D$ 的长；

(3)、若 $B D = \sqrt{6} ， A E ： B E = 5 ： 1$ ，求 $E G$ 的长．

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八、（本题满分14分）

23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于 $A (- 2 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，直线 $y = k x + m (k < 0)$ 与抛物线交于点 $M ， N$ （点 $M$ 在点 $N$ 的右侧），交 $y$ 轴于点 $P$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、若 $m = 5$ ，点 $M ， N$ 均在第一象限，且 $△ C M N$ 的面积为3，求 $k$ 的值；

(3)、若 $m = - 3 k$ ，且点 $M$ 在第四象限，直线 $A N$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，求 $\frac{C P}{C Q}$ 的取值范围．

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售价x（元/套）	…	35	40	45	…
每天销售量y（套）	…	90	80	70	…