人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 17.1勾股定理

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 12$ ，则下列关于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的说法正确的是（）

A、 $S_{1} = 2$ B、 $S_{2} = 3$ C、 $S_{1} + S_{2} = 6$ D、 $S_{1} + S_{3} = 8$

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ， AB于点M ， N ，再分别以M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P ，画射线AP与BC交于点D ， DE⊥AB ，垂足为E ．则下列结论错误的是（　　）

A、∠CAD＝∠BAD B、CD＝DE C、 $B D = \frac{5}{2}$ D、 $A D = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， BC于点N ， F ， $△ A E F$ 的周长为9.若 $∠ B + ∠ C = 4 5^{∘}$ ， $E F = 4$ ，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 的长为半径画弧，交 $A D$ 于点 $E$ ，再分别以点 $C$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C E$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $F$ ，作射线 $B F$ 交 $C D$ 于点 $G .$ 若 $A B = 8$ ， $B C = 10$ ，则 $C G$ 长为（）

A、 $5$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5. 如图，圆柱底面半径为 $\frac{4}{π} c m$ ，高为 $18 c m$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 $A$ 、 $B$ 在同一母线上，用一根棉线从 $A$ 点顺着圆柱侧面绕 $3$ 圈到 $B$ 点，则这根棉线的长度最短为（）

A、 $24 c m$ B、 $30 c m$ C、 $2 \sqrt{21} c m$ D、 $4 \sqrt{97} c m$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上 $.$ 满足 $B E = D F$ ，连接 $A E . A F$ ，取 $A E$ 的中点 $G$ ，连接 $B G$ ， $F G$ ，若 $B G = 2$ ，则 $F G =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 所在直线翻折至四边形 $B C D E$ 所在平面内，得 $△ A^{^{'}} B E$ ，延长 $B A^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，若 $D F = 3 C F$ ，则四边形 $A^{'} E D F$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、8 $\sqrt{3}$ C、12 $\sqrt{3}$ D、16 $\sqrt{3}$

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8. 如图， $R t △ A B O$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A O = 2$ ， $A B = 1$ ．以 $B C = 1$ ， $O B$ 为直角边，构造 $R t △ O B C$ ；再以 $C D = 1$ ， $O C$ 为直角边，构造 $R t △ O C D$ ；……，按照这个规律，在 $R t △ O H I$ 中，点 $H$ 到 $O I$ 的距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{110}}{11}$

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9. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于D，延长 $B C$ 到E，使 $C E = \frac{1}{2} B C$ ， F是 $A C$ 的中点，连接 $E F$ 并延长 $E F$ 交 $A B$ 于G， $B G$ 的垂直平分线分别交 $B G ， A D$ 于点M，点N，连接 $G N$ ， $C N$ ，下列结论：① $E G ⊥ A B$ ；② $G F = \frac{1}{2} E F$ ；③ $∠ G N C = 120 °$ ；④ $S_{四边形 A G N C} = 4 S_{△ M G N}$ ．其中正确的结论序号是（）．

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， C D$ 上， $A E = A F$ ， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $G$ ．下列结论：① $A C$ 垂直平分 $E F$ ；②当 $∠ D A F = 15 °$ 时， $Δ A E F$ 为等边三角形；③当 $∠ E A F = 45 °$ 时， $∠ A E B = ∠ A E F$ ；④当 $C E = (2 - \sqrt{2}) B C$ 时， $B E + D F = E F$ ．其中正确的结论有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则 $A F = \frac{3}{4}$ .其中正确的是．

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12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为

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13. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{2} - S_{3} - S_{4} =$ ．

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14. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条线上，点 $B$ 在点 $A$ ， $C$ 之间，点 $D$ ， $E$ 在直线 $A C$ 同侧， $A B < B C$ ， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $△ E A B$ ≌ $△ B C D$ ，连接 $D E$ ，设 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $D E = c$ ，下面三个结论： $① a + b < c$ ； $② a + b > \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ； $③ \sqrt{2} (a + b) > c$ ；正确的序号是．

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15. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线， $△ A B C$ 是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为．

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三、解答题

16. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

(1)、求证：△ACF≌△CBG；

(2)、如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；

(3)、在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．

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17. 如图，AO⊥OM ， OA＝4cm，点B从O点出发沿射线OM运动，速度为1cm/s，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE.

(1)、当t=3s时，
①求AB的长；
②连接AF，求AF的长。

(2)、连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度.

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18. 如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．

(1)、求BC，AC的长；

(2)、若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为 ▲（直接写出所有结果）．

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19. 如图，四边形ABCD中， $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，点M为AB上一点，连接CM，DM．

(1)、求证： $∠ C M D = ∠ B C M + ∠ A D M$ ；

(2)、若 $A D = 8$ ， $A M = 6$ ， $C D = C M = 5 \sqrt{2}$ ，求四边形AMCD的面积；

(3)、在（2）的情况下，连接AC，求AC的长．

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20. 如图，直线 $B C$ 经过原点O，点A在x轴上， $A D ⊥ B C$ 于点D， $B F ⊥ C F$ 于点F，已知点 $A (5 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ， $C (\frac{5}{2} ， - 5)$ ， $F (- 1 ， - 5)$ ，求 $A D$ 的长度．

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