人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.3二次根式的加减法

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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2. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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3. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= $\{\begin{matrix} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{matrix}$ ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

A、2﹣4 $\sqrt{6}$ B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、20

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4. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $(7 + 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值是（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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5. 若 $\sqrt{2} \times (2 \sqrt{5} - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A、 $4$ 和 $5$ B、 $5$ 和 $6$ C、 $6$ 和 $7$ D、 $7$ 和 $8$

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6. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{\frac{4}{3}} + \sqrt{\frac{1}{21}} = 2 \sqrt{7}$ B、 $(\sqrt{8} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{6} + 3$ C、 $(4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2} = 2 - \frac{3}{2} \sqrt{3}$ D、 $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} - \sqrt{7}) = 5 - 7 = - 2$

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7. 已知 $m = 1 + \sqrt{2}$ ， $n = 1 - \sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（）

A、9 B、 $\pm 3$ C、3 D、5

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8. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$ B、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5 a} + \sqrt{20 a} = 5 \sqrt{a}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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9. 已知 $a_{0} = \sqrt{3}$ ，将 $a_{0}$ 的整数部分加上 $a_{0}$ 的小数部分的倒数得到 $a_{1}$ ，再将 $a_{1}$ 的整数部分加上 $a_{1}$ 的小数部分的倒数得到 $a_{2}$ ，以此类推可得到 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， ……， $a_{n}$ ．如 $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ ，所以 $a_{1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = 1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ．根据以上信息，下列说法正确的有（）
① $a_{3} = \frac{9 + \sqrt{3}}{2}$ ；② $a_{2022}$ 的小数部分为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；③ $a_{20} - a_{19} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ；④ $\frac{1}{(a_{2} - \sqrt{3}) (a_{4} - \sqrt{3})} + \frac{1}{(a_{4} - \sqrt{3}) (a_{6} - \sqrt{3})}$ $+ ⋯ ⋯ + \frac{1}{(a_{98} - \sqrt{3}) (a_{100} - \sqrt{3})} = \frac{47}{450}$ ；⑤ $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ ⋯ + a_{40} = 1230 + 30 \sqrt{3}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 若 $\sqrt{12} - a \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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二、填空题

11. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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12. 如果最简二次根式 $\sqrt[a - 2]{3 + a}$ 与 $\sqrt{b}$ 是同类二次根式，那么 $b$ 的值等于.

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13. 一个数 $x$ 的小数部分用 ${x}$ 表示， $x - {x}$ 为整数，且 $0 \leq {x} \leq 1$ ，记 $9 + \sqrt{13}$ ， $9 - \sqrt{13}$ 的小数部分分别为 $a$ ， $b$ ，则 $a b - 4 a + 3 b - 2 =$ ．

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14. 若 $\sqrt{x - 2023} + \sqrt{y + 2023} = 2$ ，其中 $x$ ， $y$ 均为整数，则 $x + y =$ ．

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15. 已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，则 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值为．

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三、计算题

16. 计算： $\frac{2}{b} \sqrt{a b^{5}} \cdot (- \frac{3}{2} \sqrt{a^{3} b}) \div 3 \sqrt{\frac{b}{a}}$

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17. 先化简，再求值： $[\frac{4}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x y} (\sqrt{y} - \sqrt{x})}] \div \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ ，其中x＝1，y＝2．

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18. 若x ， y为实数，且y＝ $\sqrt{1 - 4 x}$ ＋ $\sqrt{4 x - 1}$ ＋ $\frac{1}{2}$ ．求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}}$ － $\sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值．

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四、解答题

19. 若实数x，y满足 $(x - \sqrt{x^{2} - 2016}) (y - \sqrt{y^{2} - 2016}) = 2016$ ．

(1)、求x，y之间的数量关系；

(2)、求 $3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x - 5 y - 2019$ 的值．

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20. 若a ， b为有理数，且 $\sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{\frac{1}{8}}$ = $a + b \sqrt{2}$ ，求 $b^{a}$ 的值。

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