人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 16.3二次根式的加减法

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算（3 $\sqrt{2}$ -2 $\sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{12}$ + $\sqrt{18}$ ）的结果是（　）

A、6 B、12 C、15 D、30

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2. 按如图所示运算程序，输入 $x = - \sqrt{2}$ ， $y = - 2 \sqrt{2}$ ，则输出结果为（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知 $x + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ ，则x的值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{12}$

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4. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a}$ 与 $- 3 \sqrt{3 a - 1}$ 能够合并，则a的值是（　　）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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5. 我们规定：对于任意的正数m，n的运算“ $Φ$ ”为当 $m < n$ 时， $m Φ n = 2 \sqrt{m} + \sqrt{n}$ ；当 $m \geq n$ 时， $m Φ n = 2 \sqrt{m} - \sqrt{n}$ ，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算 $(3 Φ 2) - (8 Φ 12)$ 的结果为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $- 5 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $- 4 \sqrt{2}$

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6. 估计 $(3 \sqrt{2} - \sqrt{12}) \times \sqrt{3}$ 的值应在（）

A、0和1之间 B、1和2之间 C、2和3之间 D、3和4之间

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7. 下列计算中，正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{5}$ B、 $(\sqrt{3} + \sqrt{7}) \times \sqrt{10} = 10$ C、 $(3 + 2 \sqrt{3}) \times (3 - 2 \sqrt{3}) = - 3$ D、 $(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) = 2 a + b$

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8. 把 $(m - 1) \sqrt{- \frac{1}{m - 1}}$ 化简得（　　）

A、 $\sqrt{m - 1}$ B、 $\sqrt{1 - m}$ C、 $- \sqrt{m - 1}$ D、 $- \sqrt{1 - m}$

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9. 计算 $\sqrt{32} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} \times \sqrt{5}$ 的结果估计在（　　）

A、 $7$ 与 $8$ 之间 B、 $8$ 与 $9$ 之间 C、 $9$ 与 $10$ 之间 D、 $10$ 与 $11$ 之间

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10. 已知x＝1＋ $\sqrt{5}$ ，则代数式x²－2x－6的值是（）

A、 $- 2 \sqrt{5} - 8$ B、－10 C、－2 D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 计算： $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ =.

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12. 对于任意两个不相等的正数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ ， $a ※ b = \frac{a - b}{\sqrt{a + b}}$ ，例如 $5 ※ 2 = \frac{5 - 2}{\sqrt{5 + 2}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ，则 $9 ※ 3 =$ ．

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13. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x y + y^{2} =$ ， $x^{2} - y^{2} =$ ．

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14. 若最简二次根式 $\sqrt[m - 1]{7}$ 与最简二次根式 $\sqrt{4 n - 1}$ 是同类二次根式，则 $m + n =$ ．

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15. 若 $a - 6 \sqrt{2} = (b + c \sqrt{2})^{2}$ ，则 $b c$ 的值为．

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三、计算题

16. 化简：

(1)、 $\sqrt{40} - 5 \sqrt{\frac{1}{10}} + \sqrt{10}$ ；

(2)、 $| \sqrt{3} - 2 | + {(π - 2009)}^{0} + \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$

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17. 计算：

(1)、 $\sqrt{40} - 3 \sqrt{10} + \sqrt{90}$ ；

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12}$ ．

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四、解答题

18. 已知 $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，求 $a^{2} + 3 a b + b^{2} - a + b$ 的值．

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19. 【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如： $2 \times \frac{1}{2} = 1$ ，我们就说2和 $\frac{1}{2}$ 互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如： $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，可得 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 互为倒数．

即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ．

类似的， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ ．

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；（ $n$ 为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{2} + m} = 2 \sqrt{2} - m$ ，则 $m$ ＝；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

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20. 有一道练习题：对于式子 $2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ 先化简，后求值，其中a= $\sqrt{2}$ ．
小明的解法如下：

$2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4} = 2 a - \sqrt{{(a - 2)}^{2}} = 2 a - (a - 2) = a + 2 = \sqrt{2} + 2$ ．

小明的解法对吗?如果不对，请改正．

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