人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.2二次根式的乘除法

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 对于任意实数m，n，若定义新运算 $m \otimes n = {\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) ， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{array}$ ，给出三个说法：
① $18 \otimes 2 = 2 \sqrt{2}$ ；② $\frac{1}{1 \otimes 2} + \frac{1}{2 \otimes 3} + \frac{1}{3 \otimes 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99 \otimes 100} = 100 \otimes 1$ ；③ $(a \otimes b) \cdot (b \otimes a) = | a - b |$ ．
以上说法中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

查看试题解析
2. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

查看试题解析
3. 下列根式中，最简二次根式是(　　)

A、 $\sqrt{\frac{x}{5}}$ B、 $\sqrt{12 x}$ C、 $\sqrt{7 x^{3}}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 1}$

查看试题解析
4. 下列式子中，是 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ 的有理化因式的是（）

A、 $a \sqrt{x} - b \sqrt{y}$ B、 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ C、 $b \sqrt{x} + a \sqrt{y}$ D、 $\sqrt{x} - \sqrt{y}$

查看试题解析
5. 小明的作业本上有以下四题：① $\sqrt{16 a^{4}}$ =4a²；② $\sqrt{5 a}$ · $\sqrt{10 a}$ =5 $\sqrt{2}$ a；③a $\sqrt{\frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a^{2} · \frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a}$ ；④ $\sqrt{8 a}$ ÷ $\sqrt{2 a}$ =4.做错的题是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

查看试题解析
6. 下列各式的计算正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{- 4}{- 9}} = \frac{\sqrt{- 4}}{\sqrt{- 9}}$ B、 $\sqrt{4 \frac{2}{9}} = 2 \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{4}} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{11}} \div \sqrt{3 \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{11} \div \frac{11}{3}} = \frac{3}{11}$

查看试题解析
7. 已知 $3 . 5^{2} = 12.25$ ， $3 . 6^{2} = 12.96$ ， $3 . 7^{2} = 13.69$ ， $3 . 8^{2} = 14.44$ ，那么 $\sqrt{13}$ 精确到 $0.1$ 的近似值是（）

A、 $3.5$ B、 $3.6$ C、 $3.7$ D、 $3.8$

查看试题解析
8. 设a= $\sqrt{2}$ ， b= $\sqrt{3}$ ，用含a，b的式子表示 $\sqrt{2.16}$ ，则下列表示正确的是（　　）

A、 $0.3 a b$ B、 $0.6 a b$ C、2ab D、 $2 a^{2} b$

查看试题解析
9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中无重叠放入面积分别为16cm²和12 cm²的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A、 $(8 - 4 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(4 - 2 \sqrt{3}) c m^{2}$ C、 $(16 - 8 \sqrt{3}) c m^{2}$ D、 $(8 \sqrt{3} - 12) c m^{2}$

查看试题解析
10. 若 $x + \frac{1}{x} = 7$ ，则 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的值是（）

A、3 B、±3 C、 $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{5}$

查看试题解析

二、填空题

11. 已知x＝ $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ， y＝ $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ， $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 4$ = ．

查看试题解析
12. 如果 $a = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + a^{2} - 2} =$ ．

查看试题解析
13. 不等式 $x - 3 \sqrt{2} > \sqrt{2} x$ 的解集是．

查看试题解析
14. 计算： $\sqrt{35} \div \sqrt{\frac{2}{7}} \times \sqrt{\frac{5}{2}} =$ ．

查看试题解析
15. 设m、x、y均为正整数，且 $\sqrt{m - \sqrt{28}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ ，则（x+y+m）²=.

查看试题解析

三、计算题

16. 已知：x＝ $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，y＝ $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{3} - x y^{2}}{x^{4} y - 2 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}}$ 的值．

查看试题解析
17. 已知y＜ $\sqrt{x - 2}$ + $\sqrt{2 - x}$ +3，化简|y﹣3|﹣ $\sqrt{y^{2} - 8 y + 16}$ ．

查看试题解析

四、解答题

18. 阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ ， $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{3}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{13}$ 的有理化因式为， $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ 的有理化因式为；（均写出一个即可）

(2)、将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：
① $\frac{3}{\sqrt{15}}$ ；
② $\frac{11}{2 \sqrt{5} - 3}$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ 的结果．

查看试题解析
19. 某市开发商为减少投资金额，将原来 $400 m^{2}$ 的正方形场地改建成 $315 m^{2}$ 的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．

(1)、求原来正方形场地的周长；

(2)、改建后的长方形的长和宽分别为多少?如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用?试利用所学知识说明理由．

查看试题解析
20. 化简求值：

(1)、已知a= $\sqrt{5}$ -2，求代数式a³+4a²-a+6的值；

(2)、已知x= $\sqrt{3}$ -2，y= $\sqrt{3}$ +2，求 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值.

查看试题解析