人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 16.2二次根式的乘除法

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式：① $\sqrt{12}$ ；② $\sqrt{22}$ ；③ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ；④ $\sqrt{27}$ 中，能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（　　　　）

A、①② B、②③ C、①④ D、③④

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{27} + \sqrt{3} = \sqrt{30}$ B、 $\sqrt{27} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{27} \times \sqrt{3} = 9$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 9$

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4. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a^{2} b} = a b$ C、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{3}$

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5. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(- 2 a b^{2})^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$ B、 $(a + b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{15}$ D、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$

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6. 若 $x = \sqrt{5} - 3$ ，则 $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $5$ C、 $\sqrt{5} + 3$ D、 $2$

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7. 已知 $m = (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \times (- 2 \sqrt{30})$ ，若a，b为两个连续的整数，且 $a < m < b$ ，则 $a + b =$ （）

A、13 B、14 C、12 D、11

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8. 按如图所示运算程序，输入 $x = - \sqrt{2}$ ， $y = - 2 \sqrt{2}$ ，则输出结果为（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间1(单位：s)和高度 $h$ (单位： $m$ )近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$ (不考尼风速的影响).记从 $50 m$ 高空抛物到落地所需时间为 $t_{1}$ ，从 $100 m$ 高空抛物到落地所需时间为 $t_{2}$ ，则 $t_{2} ： t_{1}$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 方程 $\sqrt{3} x = \sqrt{6}$ 的解为（）

A、 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $x = \sqrt{2}$ D、 $x = 2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知三角形的面积是20，一边长为2 $\sqrt{5}$ ，那么这条边上的高为．

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12. 实数 $a$ 、 $b$ 在数轴上的位置，化简 $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{{(a - b)}^{2}} =$ ．

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13. 已知 $a$ 为正整数，且 $\sqrt{12 a}$ 也为正整数，则 $a$ 的最小值为.

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14. 计算 $3 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{2} =$ ．

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15. 计算： $2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{12}}{4} \div \sqrt{27} =$ ．

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三、计算题

16. 计算： $\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}}{3} \div \frac{4}{\sqrt{3}}$

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17. 如果最简二次根式 $\sqrt{4 a - 5}$ 与 $\sqrt{13 - 2 a}$ 能进行合并．且 $a \leq x \leq 2 a$ ，化简： $| x - 2 | + \sqrt{x^{2} - 12 x + 36}$ ．

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18. 计算： $6 \sqrt{1 \frac{3}{5}} \div 2 \sqrt{2} \times (- \frac{1}{2} \sqrt{60})$

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四、解答题

19. 阅读材料，解答下列问题：
材料：已知 $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1$ ，求 $\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x}$ 的值．
李聪同学是这样解答的：
∵ $(\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
$= 15 - x - 8 + x = 7$ ．
∴ $\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7$ ．
这种方法称为“构造对偶式”
已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7$ ．求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值．

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20. 阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如： $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ ．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

(1)、模仿材料中的计算方法，化简： $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ ．

(2)、观察上面的计算过程，直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ．

(3)、利用根式裂项求解： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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