人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 16.1二次根式

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

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一、填空题

1. 已知a、b为非零实数，且 $| 4 - 2 a | + (b + 2)^{2} + \sqrt{(a - 4) \cdot b^{2}} + 4 = 2 a$ ，则 $\sqrt{a^{2} - 2 b} =$ ．

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2. 已知实数x，y满足 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3 \sqrt{2}$ ，则xy²的平方根为．

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3. 化简：（a-b） $\sqrt{- \frac{1}{a - b}}$ ＝．

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4. 符合 $\sqrt{(a - 3)^{2}} = 3 - a$ 的正整数 $a$ 的值有个．

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5. 已知 $a$ 是正整数， $\sqrt{18 a}$ 是整数，则 $a$ 的最小值是2．那么若 $b$ 是正整数， $\sqrt{\frac{240}{b}}$ 是大于1的整数，则 $b$ 的最大值与最小值的差是．

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二、选择题

6. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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7. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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8. 已知实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点如图，则化简 $\sqrt{(a + b)_{}^{2}} - \sqrt{(a - b)_{}^{2}} - \sqrt{a_{}^{2}}$ 得（）

A、 $- 3 a$ B、 $- a + 2 b$ C、 $- 2 a$ D、 $a - b$

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9. 如果代数式 $\sqrt{a}$ + $\frac{1}{\sqrt{a b}}$ 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 已知 $x y < 0$ ，则化简二次根式 $x \sqrt{\frac{y}{x^{2}}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{y}$ B、 $\sqrt{- y}$ C、 $- \sqrt{y}$ D、 $- \sqrt{- y}$

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11. 下列判断正确的是（）

A、带根号的式子一定是二次根式 B、 $\sqrt{5 a}$ 一定是二次根式 C、 $\sqrt{m^{2} + 1}$ 一定是二次根式 D、二次根式的值必定是无理数

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12. 已知 $- 1 < a < 0$ ，化简 $\sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4} + \sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4}$ 得（）

A、 $- 2 a$ B、 $- \frac{2}{a}$ C、 $2 a$ D、 $\frac{2}{a}$

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13. 若 $\sqrt{x - 2 y + 9}$ 与 $| x - y - 3 |$ 互为相反数，则x+y的值为（　　）

A、3 B、9 C、12 D、27

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14. 若 $\sqrt{(a - b)^{2}}$ ＝-a-b，则（）

A、|a+b|＝0 B、|a-b|＝0 C、|ab|＝0 D、|a²+b²|＝0

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15. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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三、解答题

16. 求使 $- \sqrt{x - 3} + \frac{1}{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 有意义的x的取值范围．

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17. 我们以前学过完全平方公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 $3 = (\sqrt{3})^{2}$ ， $5 = (\sqrt{5})^{2}$ ，下面我们观察： $(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ ．
反之， $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2}$
$∵ 3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ $∴ \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ ．
仿上例，求：

(1)、 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \dots \dots + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则求 $4 a^{3} - 9 a^{2} - 2 a + 1$ 的值．

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18. 实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简： $\sqrt{(- c)^{2}} + | a - b | + \sqrt[3]{(a + b)^{3}}$ -|b-c|

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19. 已知 $(m - 3) \sqrt{m - 2}$ ≤0，若整数k满足m+k＝ $3 \sqrt{2}$ ．试求k的值．

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20. 若 $\sqrt{(3 m + 1) (2 - m)}$ ＝ $\sqrt{3 m + 1}$ • $\sqrt{2 - m}$ 成立，试化简：|m﹣4|+ $\sqrt{9 m^{2} + 6 m + 1}$ +|m﹣2|．

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