人教版初中数学2023-2024学年七年级下学期课时培优练习 6.3实数

试卷更新日期：2024-01-09 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 下列说法正确的有（　　）个．
①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数．

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
2. 已知min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝min{ $\sqrt{9}$ ， 9² ， 9}＝3．当min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝ $\frac{1}{16}$ 时，则x的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
3. 如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点 $O'$ ，则点 $O'$ 所对应的数是（）

A、π+4 B、2π+4 C、3π D、3π+2

查看试题解析
4. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ${x}$ ，即当n为非负整数时，若 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ，则 ${x} = n$ ．反之，当n为非负整数时，若 ${x} = n$ ，则 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ ．例如： ${0.36} = 0$ ， ${4.71} = 5$ ．给出下列说法：
① ${1.49} = 1$ ；
② ${2 x} = 2 {x}$ ；
③当 $x \geq 0$ ， m为非负整数时，有 ${m + 2023 x} = m + {2023 x}$ ；
④若 ${x - 1} = 3$ ，则非负实数x的取值范围为 $3.5 < x < 4.5$ ；
⑤满足 ${x} = \frac{6}{5} x$ 的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
5. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数 B、16的平方根是±4，即 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、8.30万精确到百分位 D、若 $\sqrt{a - 2022} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} = 1$

查看试题解析
6. 有理数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① $- a - 1$ ；② $| a + 1 |$ ；③ $2 - | a |$ ；④ $\frac{1}{2} | a |$ ，在0到1之间数的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
7. 自定义运算： $a ☆ b = {\begin{array}{l} a - 2 b (a < b) \\ 2 a - b (a \geq b) \end{array}$ 例如： $2 ☆ (- 4) = 2 \times 2 - (- 4) = 8$ ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 $(m + n) ☆ (m - n) = 7$ ，则 $6 n - 2 m + 2021$ 的值等于（）

A、2028 B、2035 C、2028或2035 D、2021或2014

查看试题解析
8. 若m＝5n（m、n是正整数），且 $10 < \sqrt{m} < 12$ ，则与实数 $\sqrt{n}$ 的最大值最接近的数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
9. 边长为一个单位的正方形 $A B C D$ 纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形 $A B C D$ 纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（）

A、点 $A D$ B、点B C、点C D、点D

查看试题解析
10. 数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 $| a - 2 | - | 2 - b | = | a - b |$ .下列四个选项中，有（）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
① ② ③ ④

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析

二、填空题

11. 在 $\sqrt{1}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， … $\sqrt{2006}$ 中，共有个有理数．

查看试题解析
12. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙

(1)、下面是探究 $^{3} \sqrt{59319}$ 的过程，请补充完整：
①由10³=1000，100³=1000000，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 是两位数；

②由59319的个位上的数是9，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 的个位上的数是9：

③如果划去59319后面的三位319得到数59，而3³=27，4⁴=64，可以确定 $^{3} \sqrt{59319}$ 的十位上的数是；由此求得 $^{3} \sqrt{59319}$ =39

(2)、已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 $^{3} \sqrt{103823}$ =

查看试题解析
13. 比较大小： $\sqrt[3]{7}$ 2．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

查看试题解析
14. 已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y=

查看试题解析
15. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1，现对72进行如下操作：72 $\overset{第一次}{\to}$ [ $\sqrt{72}$ ]=8 $\overset{第二次}{\to}$ [ $\sqrt{8}$ ]=2 $\overset{第三次}{\to}$ [ $\sqrt{2}$ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

查看试题解析

三、解答题

16. 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、 $\sqrt{2}$ 等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为 $\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$ ，即2＜ $\sqrt{5}$ ＜3，所以 $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：

(1)、 $\sqrt{21}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、10+ $\sqrt{7}$ 也是夹在两个整数之间的，可以表示为 $a ＜ 10 + \sqrt{7} ＜ b$ ，则 $(a - b)_{}^{2013} =$ ；

(3)、若 $\sqrt{23} - 2 = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且0<y<1，求： $x - y$ 的相反数.

查看试题解析
17. 阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式 $5 - a \times \sqrt{3} = 2 b + \frac{2}{3} \times \sqrt{3} - a$ ，求a，b的值．

解：因为 $5 - a \times \sqrt{3} = 2 b + \frac{2}{3} \times \sqrt{3} - a$

即5-a× $\sqrt{3}$ =(2b-a)+ $\frac{2}{3}$ × $\sqrt{3}$

所以2b-a=5，-a= $\frac{2}{3}$

解得a= $- \frac{2}{3}$ ， b= $\frac{13}{6}$

设x，y是有理数，并且满足x²+y× $\sqrt{2}$ +2y=-4× $\sqrt{2}$ +17，求×+y的值．

查看试题解析
18. 已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， $\frac{b}{a}$ ，b的形式，试求a^2n-1a²ⁿ（n≥1）的值.

查看试题解析

四、综合题

19. 大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$ ，

∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ ．

请解答：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt{13}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知： $10 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，直接写出 $x - y$ 的相反数．

查看试题解析
20. 先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若 $a + b \sqrt{m} = 0$ ，其中a，b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数，则 $a = 0 ， b = 0$ .

证明：∵ $a + b \sqrt{m} = 0$ ， a为有理数

∴ $b \sqrt{m}$ 是有理数

∵b为有理数， $\sqrt{m}$ 是无理数

∴ $b = 0$

∴ $a + 0 \sqrt{m} = 0$

∴ $a = 0$

(1)、若 $a + b \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ ，其中a、b为有理数，请猜想a= ， b= ，并根据以上材料证明你的猜想；

(2)、已知 $\sqrt{11}$ 的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足 $11 y + \sqrt{11} (y - \sqrt{11} x) = (b + 2) \sqrt{11} + a \sqrt{11}$ ，求x，y的值.

查看试题解析