湖北省武汉市第三名校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-08 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知双曲线 $C_{1}$ 过点 $(\sqrt{5} ， 4)$ ，且与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同的渐近线，则双曲线 $C_{1}$ 的焦距为（）

A、7 B、14 C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{21}$

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2. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）

A、3 B、3或7 C、5 D、7

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{8}}{8} - \frac{S_{6}}{6} = 2$ ，则 $S_{10}$ 等于（）

A、10 B、100 C、110 D、120

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + 2 a_{4} + a_{13} = 120$ ，则 $S_{11} - 5 a_{6} =$ （）

A、60 B、120 C、180 D、240

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，满足 $| A F | = 4 | B F |$ ，则 $k =$ （）

A、 $\pm \frac{4}{3}$ B、 $\pm \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{5}$ ， $a_{7}$ ， $2 a_{6}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{16} - a_{15}}{a_{14}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左顶点是A ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 是 $C$ 在第一象限上的一点，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ .若 $M F_{2} / / A N$ ，且 $△ A N F_{2}$ 的周长为 $\frac{19}{6} a$ ，则直线 $M N$ 的斜率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{11}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{7}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n (n \in N^{*})$ ， $b_{n} = λ (a_{n} - 1) - n^{2} + 4 n$ ，若数列 ${b_{n}}$ 为单调递增数列，则 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{4} ， + ∞)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + ∞)$ C、 $(\frac{3}{8} ， + ∞)$ D、 $(\frac{3}{4} ， + ∞)$

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二、多选题

9. 方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $- 2 < m < - 1$ 时，方程表示椭圆 B、当 $m > - 1$ 时，方程表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线 C、当 $m = - \frac{3}{2}$ 时，方程表示圆 D、当 $m < - 2$ 或 $m > - 1$ 时，方程表示双曲线

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10. 首项为正数，公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，现有下列4个命题中正确的有（）

A、若 $S_{10} = 0$ ，则 $S_{2} + S_{8} = 0$ ； B、若 $S_{4} = S_{12}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大的n为15 C、若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 ${S_{n}}$ 中 $S_{8}$ 最大 D、若 $S_{7} < S_{8}$ ，则 $S_{8} < S_{9}$

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11. 如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 互为共轭双曲线，设 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、若 $e_{1} = \sqrt{5}$ ，则 $e_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为4 C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{2}{e_{2}}$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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12. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点，过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与 $C$ 相交于 $E$ ， $D$ 两点， $M$ 为 $A$ ， $B$ 中点， $N$ 为 $E$ ， $D$ 中点，直线 $l$ 为抛物线 $C$ 的准线，则（）

A、 $∠ A O B$ 有可能为锐角 B、以 $| A B |$ 为直径的圆与 $l$ 相切 C、 $| A B | + | D E |$ 的最小值为32 D、 $△ A E F$ 和 $△ B F D$ 面积之和最小值为32

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三、填空题

13. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前m项的和 $S_{m}$ 为20，前3m项的和 $S_{3 m}$ 为90，则它的前2m项的和 $S_{2 m}$ 为.

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ， $n ∈ N^{∗}$ ，都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 3}{4 n - 3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{6}}{b_{3} + b_{7}}$ 的值为 .

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上存在相异两点关于直线 $y = x + t$ 对称，则实数 $t$ 的取值范围是.

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16. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是双曲线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第二象限的一个交点，点 $Q$ 在双曲线上，且 $\vec{F_{1} P} = \frac{1}{2} \vec{F_{2} Q}$ ，则双曲线的离心率为.

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n} a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ．求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 是等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

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18. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} > 0$ ， $a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1$ .

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、求数列 $a_{n}$ 的通项公式.

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19. 已知直线 $l ： y = k x + 3$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右支交于不同的两点 $A$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ，且直线 $l$ 上存在一点 $D$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| D A |}{| D B |}$ （ $D$ 不与 $P$ 重合）．

(1)、求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、证明：当 $k$ 变化时，点 $D$ 的纵坐标为定值．

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20. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ ．

(1)、设点 $M (- 1 ， \frac{3}{2})$ ，过点M作直线l与圆C交于A ， B两点，若 $| A B | = 8$ ，求直线l的方程；

(2)、设P是直线 $x + y + 6 = 0$ 上的点，过P点作圆C的切线PA ， PB ，切点为A ， B ，求证：经过A ， P ， C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

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21. 已知点F为抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P (- 3 ， 2)$ ， $| P F | = 2 \sqrt{5}$ ，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A ， B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.

(1)、求证：直线BC过定点；

(2)、若直线BC所过定点为点Q ， $△ Q A B$ ， $△ P B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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22. 椭圆 $C$ 与双曲线 $2 x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 有相同的焦点，且过 $(1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，当动点 $M$ 在定直线 $x = 4$ 上运动时，直线 $A M$ ， $B M$ 分别交椭圆于两点 $P$ ， $Q$ .
（i）证明：点B在以 $P Q$ 为直径的圆内；
（ii）求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值.

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