安徽省阜阳市太和县2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-08 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. $△ A B C$ 中，如果 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ ，那么 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(π - 3.14)}^{0} = 0$ B、 $- 3 a \cdot 2 a b = - 6 a^{2} b$ C、 $3 a^{3} \cdot 8 a^{3} = 24 a^{9}$ D、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$

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4. 下列判断错误的是（）

A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B、三条边对应相等的两个三角形全等 C、全等三角形对应边上的高相等 D、三个角对应相等的两个三角形全等

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5. 下列从左到右的变形为因式分解的是（）

A、 $a (x - y) = a x - a y$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 = x (x - 2) + 3$ C、 $x^{2} - 4 y^{2} = (x + 2 y) (x - 2 y)$ D、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

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6. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（）

A、① B、② C、③ D、①和③

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7. 若 $x^{2} + m x + 9$ 是个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $\pm 6$ D、0

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8. 如图，直线 $a ∥ b$ ，等边 $△ A B C$ 的顶点C在直线b上，若 $∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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9. 如图，若 $∠ A = 25 °$ ，则 $∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数为（）

A、 $155 °$ B、 $180 °$ C、 $205 °$ D、 $335 °$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M ， N ，作直线 $M N$ ，交 $A B$ 于点D ，交 $A C$ 于点E ，连接 $B E$ ，若 $A C = 6$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°.

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12. 如图， $A B = A D$ ，现添加“ $C B = C D$ ”，则判定 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的直接依据是．

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13. 长方形的面积是 $6 a^{2} - 3 a b$ ．若一边长是 $3 a$ ，则另一边长是．

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14. 如图，有两个边长分别为a ， b（ $a > b > 0$ ）正方形纸板A ， B ，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．

① $a b =$ ．
② 若将纸板A ， B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 先化简．再求值： ${(x + 1)}^{2} - (x - 2) (x + 2)$ ，其中 $x = - 2$ ．

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16. 若 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三边的长，且满足 $b (a - b) + c (a - b) = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标为 $A (3 ， 4) ， B (1 ， 2) ， C (5 ， 1)$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、写出点 $C_{1}$ 的坐标：．

(3)、在y轴上找一点P ，使 $P A + P B$ 的值最小．

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18. 观察以下等式：
第1个等式： $3^{2} - 1^{2} = 8 = 8 \times 1$ ；
第2个等式： $5^{2} - 3^{2} = 16 = 8 \times 2$ ；
第3个等式： $7^{2} - 5^{2} = 24 = 8 \times 3$ ；
第4个等式： $9^{2} - 7^{2} = 32 = 8 \times 4$ ；
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 已知 $2^{m} = a ， 2^{n} = b$ ，用含a ， b的式子表示下列代数式：

(1)、 $2^{m + n}$ ．

(2)、 $4^{2 m + 3 n}$ ．

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20. 如图， $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 均是等边三角形，E ， F分别是 $A D ， C D$ 上的两个动点，且满足 $∠ E B F = 60 °$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D B F$ ．

(2)、判断 $△ B E F$ 的形状，并证明．

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六、（本题满分12分）

21. 如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．

(1)、设图1中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ （请用含a ， b的代数式表示，只需表示，不必化简）．

(2)、以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是

(3)、运用（2）中得到的公式，计算： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$ ．

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七、（本题满分12分）

22. 八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧．
[发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = 5 ， A C = 3$ ，求 $A D$ 的取值范围．
[探究方法]他们通过探究发现，延长 $A D$ 至点E ，使 $E D = A D$ ，连接 $B E$ ．可以证出 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与 $A D$ 转化到 $△ A B E$ 中，进而求出 $A D$ 的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线 $A D$ 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
[问题解决]

(1)、请你利用上面解答问题的思路方法，写出求 $A D$ 的取值范围的过程．

(2)、如图2， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，且 $A B = B E = A C$ ，求证： $C E = 2 C D$ ．

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八、（本题满分14分）

23. 阅读材料：我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如分解因式：
$x^{2} + 2 x - 3 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
又例如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值，因为 $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ，
又因为 ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，所以当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 6 x - 7 =$ ．

(2)、当x为何值时，多项式 $x^{2} + 4 x - 1$ 有最小值?并求出这个最小值．

(3)、试说明：无论y取任何实数时，多项式 $x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 4 y + 20$ 的值总为正数．

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