吉林省通化市梅河口市第五名校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-06 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x | 3 x^{2} - 17 x \leq 0} ， N = {x \in Z | - 2 \leq x < 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数 $\frac{2 - m i}{i} + 5 - i$ 为纯虚数，则 $m =$ （）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $3$ D、 $- 3$

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3. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a x$ ，则“ $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上单调递增”的一个充分不必要条件为（）

A、 $a \leq - 4$ B、 $a < 0$ C、 $a > - 5$ D、 $a > 4$

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4. 老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月 $1$ 号开始慢跑，第一天跑步 $3$ 公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用 $20$ 天跑完 $98$ 公里，则预计这 $20$ 天中老张日跑步量超过 $5$ 公里的天数为（）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $13$ D、 $14$

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5. 两直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与 $6 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{7}{20} \sqrt{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{2}{13} \sqrt{13}$

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6. 已知直线 $k x - y + 2 k = 0$ 与直线 $x + k y - 2 = 0$ 相交于点P，点 $A (4 ， 0)$ ， O为坐标原点，则 $t a n ∠ O A P$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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7. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过F的直线l与抛物线交于点A，B ，与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 交于点P，Q ，其中点A，P在第一象限，则 $2 | A P | + | Q B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $2 \sqrt{2} + 5$ C、 $4 \sqrt{2} + 5$ D、 $4 \sqrt{2} + 3$

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8. 设 $a = 0.1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = 1.1 l n 1.1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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二、多选题（每题5分，共计20分，少选2分，错选0分）

9. 下列命题正确的是（）

A、已知点 $A (2 ， - 3)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ ，若直线 $y = k (x - 1) + 1$ 与线段 $A B$ 有交点，则 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - 4$ B、 $m = 1$ 是直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $(m - 2) x + m y - 2 = 0$ 垂直的充分不必要条件 C、经过点 $(1 ， 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距都相等的直线的方程为 $x + y - 2 = 0$ D、已知直线 $l_{1} ：$ $a x - y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + a y + 1 = 0$ ， $a \in R$ ，和两点 $A (0 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ，如果 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $M$ ，则 $| M A | \cdot | M B |$ 的最大值是 $1$ .

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10. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ．已知 $a_{3} = 6$ ， $S_{16} > 0$ ， $a_{9} < 0$ ，则（）

A、 $- \frac{12}{11} < d < - 1$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 的最大项为第9项 C、 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最小值为17 D、 $a_{8} > 0$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设 $P Q$ 的中点为M，过M作 $P Q$ 的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）

A、 $∠ P K F = ∠ Q K F$ B、 $t a n ∠ P K F = s i n ∠ P F D$ C、 $P Q$ 最小值为p D、 $| P Q | = 2 | F D |$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，顶点 $B ， C ， A_{1}$ 到 $α$ 的距离分别为 $1 ， 2 ， 3$ ，则（）

A、 $B D$ $∥$ 平面 $α$ B、平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $α$ C、直线 $A B_{1}$ 与 $α$ 所成角比直线 $A A_{1}$ 与 $α$ 所成角大 D、正方体的棱长为 $\sqrt{11}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合 $M = {0 ， 1 ， a + 1}$ ，若 $- 1 \in M$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B = A C = 2 ， B C = 2 \sqrt{3} ， P A = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的表面积等于.

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ .
① $\forall m ， n \in R$ ， $f (m + n) = f (m) + f (n)$ ；② $f (x)$ 为奇函数；③ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减.

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16. 已知 $f (x) = x^{2} - 8 x + 10$ ， $x \in R$ ，数列 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，若 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + f (a_{3})$ 的值最小，则 $a_{1} =$ ．

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四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x - 1 (x \in R)$

(1)、求函数在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 的单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2} = 4 ， a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．数列 ${b_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差不为零的等差数列，且 $b_{1} ， b_{2} ， b_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} < m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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19. 某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度 $y_{1}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{1} = 5 - a t$ （ $a > 0$ ， a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 $y_{2}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{2} = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{t} ， 0 < t < 1 ， \\ 5 - \frac{4}{t} ， 1 \leq t \leq 4 . \end{array}$ 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

(1)、若 $a = 1$ ，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2)、若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

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20. 在① $b s i n \frac{A + B}{2} = c s i n B$ ， ② $\sqrt{3} (c c o s A - b) = - a s i n C$ ， ③ $\frac{c}{c o s C} = \frac{a + b}{c o s A + c o s B}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足_▲_.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ， $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = x (a l n x - x - 1)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减；

(2)、若 $f (x) + x = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2 (n \in N^{*})$ .

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