四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-06 类型：月考试卷

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 3}$

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2. “ $x = 1$ ”是“ $x^{2} = 1$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} + 2 ， x < 3 \\ x ， x \geq 3 \end{array}$ ，则 $f (0) =$ （）

A、2 B、3 C、 $e^{3} - 1$ D、 $e^{2} - 1$

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4. 已知扇形的圆心角为 $3 0^{∘}$ ，弧长为 $π$ ，则扇形的半径为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $6 \sqrt{2}$ D、6

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5. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $c o s θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 9$ 的零点所在区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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7. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 $m_{1} - m_{2} = \frac{5}{2} l g \frac{E_{2}}{E_{1}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k} (k = 1 ， 2)$ . 已知“心宿二”的星等是 1， “天津四”的星等是 1.25 ，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.

A、1 B、 $1 0^{0.1}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $1 0^{- 0.1}$

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8. 已知 $a = l n π ， b = l o g_{5} 2 ， c = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.

9. 已知下列各角： (1) $- 12 0^{∘}$ ： (2) $18 0^{∘}$ ； (3) $- 24 0^{∘}$ ； (4) $49 5^{∘}$ ，其中是第二象限角的是（）

A、(1) B、(2) C、(3) D、(4)

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10. 下列四个式子中： (1) $l g 10 = 1$ ； (2)若 $2^{x} = N$ ，则 $x = l o g_{2} N$ ； (3) $l g (l n e) = 1$ ； (4) $l g (l n 1) = 0$ . 其中正确的有（）

A、(1) B、(2) C、(3) D、(4)

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11. 若 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上为减函数，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上为减函数 C、当 $x = 0$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、 $f (- π) < f (3) < f (- 2)$

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12. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} ， g (x) = - l o g_{3} x ， h (x) = 2 - x$ . 则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 互为反函数 B、函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内没有零点 C、若 $a ， b ， c$ 均为正实数，且满足 $f (a) = g (b) = h (c)$ ，则 $b < 1 < c < a$ D、若函数 $h (x)$ 的图象与函数 $f (x)$ 的图象和函数 $g (x)$ 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + l o g_{3} x_{2} = 0$

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三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请将答案填写在答题卡相应位置上.

13. 若 $a = l o g_{2} 3$ ，则 $4^{a} =$

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14. 化简： $\frac{c o s 1 0^{∘} + \sqrt{1 - c o s^{2} 1 0^{∘}}}{\sqrt{1 + 2 s i n 1 0^{∘} c o s 1 0^{∘}}} =$

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x ， x \in [- 1 ， 2]$ ，则 $f (x)$ 的值域为

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq 0 \\ - 2 + l n x ， x > 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) = k (k < 0)$ 有 3 个实数解，则 $k$ 的取值范围为

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四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算：

(1)、 $2 7^{\frac{2}{3}} + 2 l g 5 + l g 4$ ；

(2)、 $s i n \frac{7 π}{3} c o s (- \frac{23 π}{6}) + t a n (- \frac{15 π}{4}) + s i n \frac{π}{6} c o s \frac{13 π}{3}$

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18. 设集合 $A = {x \in R ∣ x (x - 2) \leq 0} ， B = {x \in R ∣ 1 \leq x \leq m}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap^{} B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19.

(1)、已知 $t a n α = 3$ ，求 $\frac{4 s i n α - c o s α}{3 s i n α + 5 c o s α}$ 的值.

(2)、已知 $s i n θ + c o s θ = \frac{1}{2} (0 < θ < π)$ ，求 $s i n θ c o s θ$ 和 $s i n θ - c o s θ$ 的值.

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20. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ 的图象经过点 $P (2 ， 4)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式并判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x)$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最小值。

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21. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ (毫克) 与药熏时间 $t$ (小时) 成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量 $^{y}$ (毫克) 达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量 $^{y}$ (毫克) 与时间 $t$ (小时) 的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{t - a}$ ( $a$ 为常数， $t > \frac{1}{2}$ ). 已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ (毫克) 关于时间 $t$ (小时) 的变化曲线如图所示.

(1)、从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量 $y$ (毫克) 与时间 $t$ (小时) 之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于 $\frac{1}{4}$ 毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (1 + a x) ， g (x) = l o g_{3} [(2 a - 1) x^{2} + (3 a - 2) x] ， a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (2 x + 1) > f (x)$ 的解集；

(2)、已知函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，且方程 $h (x) = 0$ 有唯一实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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