2023~2024学年沪科版九年级下册之圆章节培优习题

试卷更新日期：2024-01-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，正方形 $A B C D$ 和等边三角形 $A E F$ 均内接于 $⊙ O$ ，则 $\frac{A B}{A E}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，则 $C D$ 的长为（）．

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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3. 如图，点P是 $⊙ O$ 外的一点，PA、PC是 $⊙ O$ 的切线，切点分别为A，C，AB是 $⊙ O$ 的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（）

A、 $P O ∥ B C$ B、 $P D = 2 O D$ C、若 $∠ A B C = 2 ∠ C P O$ ，则△PAC是等边三角形 D、若△PAC是等边三角形，则 $∠ A B C = 2 ∠ C P O$

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4. 如图，点 $A 、 B$ 是 $⊙ O$ 上两点， $A B = 10$ ，点P是 $⊙ O$ 上的动点（P与 $A 、 B$ 不重合），连接 $A P 、 P B$ ，过点O分别作 $O E ⊥ A P$ 交 $A P$ 于点E ， $O F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点F ，则 $E F$ 等于（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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5. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $A C$ 是弦，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，连接 $O D$ 、 $B D$ 分别交 $A C$ 于点 $Q$ 和点 $P$ ，连接 $O E$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $O D ⊥ A C$ B、 $C E = \frac{1}{2} B D$ C、 $O E ∥ B D$ D、 $C D^{2} = D P \cdot B D$

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二、填空题

6. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O．若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 75 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的弧长为．

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ D A B = ∠ A B C = 80 °$ ， $∠ A O B = 90 °$ ， $A B = 4$ ，则劣弧 $D C$ 的长度为．

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8. 如图，已知 $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，弦 $C D ∥ A B$ ， $C D = 8$ ， $A B = 10$ ，则 $B C$ 的长为．

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9. 如图，直线 $A B$ 与半径为 $8$ 的 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $C D$ 、 $D E$ ，且 $∠ E D C = 30 °$ ，弦 $E F / / A B$ ，则 $E F$ 的长为．

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10. 如图，在半径为1的 $⊙ O$ 上顺次取点A，B，C，D，E，连接 $A B ， A E ， O B ， O C ， O D ， O E$ ，若 $∠ B A E = 55 °$ ， $∠ C O D = 50 °$ ，则扇形 $O B C$ 与扇形 $O E D$ 的面积之和为（结果保留 $π$ ）

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三、解答题

11. 如图，点E是 $△ A B C$ 的内心，AE的延长线和 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 相交于点D，与弦BC交于点F．

(1)、求证： $D B = D E$ ．

(2)、若 $D F = 3$ ， $A F = 5$ ，求AE的长．

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12. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点 $C$ ， $A E$ ， $B E$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $A E$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ .

(1)、判断 $△ B D E$ 的形状，并证明你的结论；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B E = 2 \sqrt{10}$ ，求 $B C$ 的长.

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13. 点P在 $⊙ O$ 外，点A，C在 $⊙ O$ 上，连接 $P A ， P C$ 分别交 $⊙ O$ 于点B，D

(1)、如图1，若 $∠ P = 30 °$ ， $∠ A O C = 80 °$ ，求 $∠ B O D$ 的度数；

(2)、如图2，若 $P A = P C$ ，求证： $A B = C D$ ．

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14. 如图1， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 为弦，过圆心O作 $O D ⊥ B C$ 于D，点E为 $A B$ 延长线上一点， $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(1)、求证： $∠ B C E = ∠ B O D$ ；

(2)、如图2，取弧 $A C$ 的中点P，连接 $O P ， A P$ ，若 $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，求弦 $P A$ 的长．

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15. 已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，且 $B C = C D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点E，以 $D E$ 为直径的 $⊙ O$ 上有一点F，使得 $\overset{⌢}{E F} = \overset{⌢}{D F}$ ，连接 $C F$ 交 $D E$ 于点G，若 $∠ B A D = 90 °$ ．

(1)、判断 $A C$ 与 $⊙ O$ 的关系，并说明理由；

(2)、若 $C E = 1$ ，求 $C F \cdot G F$ 的值．

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16. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，直径 $D G$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ， $A B$ 、 $D C$ 的延长线相交于点 $F .$ 连接 $A C$ ，若 $∠ A C D = ∠ B A D$ ．

(1)、求证： $D G ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $t a n ∠ F C B = 3$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⏜}{A D} = \overset{⏜}{D B}$ ，连接 $C D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $O C$ ， $D B$ ， $B C$ ．

(1)、若 $∠ A O C = 120 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数；

(2)、用尺规作图作出 $∠ A B C$ 的角平分线交 $C D$ 于点 $F ($ 保留作图痕迹 $)$ ，并求证： $B D = F D$ ．

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18. 已知 $⊙ O$ 与矩形 $A B C D$ 的三边相切， $C D$ 边的切点为 $H$ ，与 $A D$ 交于 $E$ ， $F$ 两点， $E G$ 为 $⊙ O$ 的直径，连接 $E H$ ．

(1)、求证： $∠ D E H = ∠ H E G$ ；

(2)、若 $∠ D E G = ∠ D H E$ ，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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19. 已知，如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直线 $M A$ 与 $⊙ O$ 相切，切点为 $A$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $∠ M A D = ∠ A C D$ ；

(2)、若 $A C = A D$ ，点 $B$ 是劣弧 $A C$ 的中点， $\tan ∠ D A M = \frac{4}{3}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ ．

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20. 如图 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点O在 $B C$ 上， $∠ B A C$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ， $C D$ ，过点D作 $B C$ 的平行线与 $A C$ 的延长线相交于点P.

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $D C$ 与 $P C$ 的值.

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E ，过点D作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点F ．

(1)、如图1，若 $∠ A = α$ ，求 $∠ F D E$ （用含 $α$ 代数式表示）：

(2)、如图2，取 $B C$ 的中点G ，连接 $D G$ ，若 $∠ A = 30 °$ ， $D G = \sqrt{7}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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