河北省石家庄市平山县2023-2024学年九年级上学期数学第三次月考考试试卷

试卷更新日期：2024-01-05 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1~6小题各3分，7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列图象中是反比例函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（）

A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：16

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3. 下面叙述中的变量 $y$ 与变量 $x$ 满足反比例函数关系的是（）
①计划从 $A$ 地到 $B$ 地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度 $y$ 与铺设天数 $x$ ；
②汽车匀速行驶时，行驶的路程 $y$ 与行驶的时间 $x$ .

A、只有①是 B、只有②是 C、①②都是 D、①②都不是

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4. 反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象在（）

A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第一、二象限 D、第三、四象限

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5. 平行于正多边形一边的直线，把正多边形分割成两部分，则下列阴影部分与原正多边形相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $y$ 与 $x$ 成反比例，当 $x = 4$ 时 $y = - 2$ ，则 $y$ 与 $x$ 的函数解析式为（）

A、 $y = - \frac{x}{2}$ B、 $y = - \frac{2}{x}$ C、 $y = \frac{8}{x}$ D、 $y = - \frac{8}{x}$

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7. 如图， $△ A B C ∽ △ A E D$ ，若 $A B = 6$ ， $A E = 4$ ，则 $S_{△ A B C} ： S_{△ A E D}$ 的值为（）

A、2：3 B、3：2 C、4：9 D、9：4

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8. 已知点 $A (a ， y_{1})$ ， $B (a + 1 ， y_{2})$ 在双曲线 $y = - \frac{5}{x}$ 上，当 $a > 0$ 时，下列结论一定正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、 $y_{1} \cdot y_{2} < 0$

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9. 如图，在由小正方形组成的方格纸中， $△ A B C$ 和 $△ E D P$ 的顶点均在格点上，要使 $△ A B C ∽ △ E D P$ ，则点 $P$ 所在的格点为（）

A、点 $P_{1}$ B、点 $P_{2}$ C、点 $P_{3}$ D、点 $P_{4}$

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10. 汽车在某高速路的限速区间段的行驶速度 $v$ （km/h）与行驶时间 $t$ （h）的反比例函数关系如图所示，汽车在该限速区间段的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，王先生开车按照此规定通过该限速区间段的时长可能是（）

A、0.15h B、0.32h C、0.45h D、0.5h

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11. $△ A B O$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 4)$ ， $B (6 ， 0)$ ， $O (0 ， 0)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，把 $△ A B O$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，可以得到 $△ A^{'} B^{'} O$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ 或 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$ 或 $(- 2 ， - 1)$

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12. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1所示）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2所示的位置，从“矩”的一端 $A$ （人眼）望点 $C$ ，使视线通过点 $F$ ，记人站立的位置为点 $B$ ，量出 $B D$ 长，即可算得物高 $C D$ .若 $a = 30 c m$ ， $b = 60 c m$ ， $A B = 1.6 m$ ，量得 $B D = 2.4 m$ ，则物体的高 $C D$ 为（）

A、1.2m B、2m C、2.4m D、2.8m

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13. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{2 k - 6}{x}$ 与 $y = k x$ 的图象如图所示，则满足条件的整数 $k$ 的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为锐角， $B C = 8 c m$ ， $A B = 4 c m$ ，要在边 $B C$ 上找一点 $D$ ，使 $△ D B A ∽ △ A B C$ ，需添加一个条件，下列方案不正确的是（）

A、 $∠ B A D = ∠ C$ B、 $C D = 6 c m$ C、 $A D$ 平分 $∠ B A C$ D、 $∠ A D B = ∠ B A C$

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15. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 和 $y = \frac{2}{x}$ 在第一象限内的图象如图所示，点 $P$ 在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，过点 $P$ 作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点 $C$ ， $P B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，交 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点 $D$ .当点 $P$ 的横坐标逐渐变大时，四边形 $O C P D$ 的面积（）

A、逐渐变大 B、逐渐变小 C、不变 D、无法确定

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16. 题目：“如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $B C = 4$ ， $P$ 是线段 $B A$ 延长线上一点，若 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，求 $A P$ 的长.”嘉嘉的答案：延长 $C D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $P$ ，此时 $△ P A D ∽ △ P B C$ ，可得 $A P = 3$ .而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， $A P$ 还应有另一个不同的长度.”下列判断正确的是（）

A、淇淇说的不对， $A P$ 就等于3 B、淇淇说的对，且 $A P$ 的另一个长度为 $\frac{\sqrt{41} - 3}{2}$ C、嘉嘉求的结果不对， $A P$ 应得1.5 D、两人都不对， $A P$ 应有3个不同的长度

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）

17. 某机器零件的长度为70cm，将其缩小在比例尺为1：10的图纸上的长度为cm.

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18. 如图，已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别截直线 $l_{4}$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，截直线 $l_{5}$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ .

(1)、若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， $E F = 12$ ，则 $D E$ 的长为；

(2)、若 $D E ： E F = 2 ： 3$ ， $A C = 25$ ，则 $A B$ 的长为.

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19. 如图，2×2网格（每个小正方形的边长均为1）中有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ， $I$ 九个格点，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 3)$ ，反比例函数的解析式为 $y = \frac{k}{x}$ .

(1)、若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $A$ ，则它必过点；

(2)、在九个格点中，若只有1个格点在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象的上方，则 $k$ 的整数值有个.

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上.请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上.

(1)、在图1中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于点 $O$ 位似，相似比为2；

(2)、在图2中画出 $△ D E F$ ，使得 $△ D E F ∽ △ A B C$ ，且 $S_{△ D E F} = 9$ .

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21. 已知关于 $x$ 的反比例函数 $y = \frac{k + 1}{x}$ .

(1)、若该函数的图象经过点 $A (2 ， - 2)$ ，求 $k$ 的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(2)、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，求 $k$ 的取值范围.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 延长线上一点， $A C = 3 C D$ ，延长 $B C$ 到点 $E$ ，且 $\frac{C E}{D E} = \frac{D E}{B E}$ .

(1)、求证： $△ E C D ∽ △ E D B$ ；

(2)、若 $∠ A = ∠ D B E$ ，求 $C E$ 的长度.

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23. 如图1，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（ $C D$ ）在地面上留下2米长的影子（ $A B$ ），窗框影子的一端 $B$ 到窗下墙脚 $О$ 的距离 $O B$ 为3.6米，窗口底边 $C$ 与地面的距离 $O C$ 为1.2米.

(1)、求窗户的高度（ $C D$ 的长）；

(2)、如图2，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端 $A$ 沿 $O E$ 向右移动到 $A^{'}$ ， $A A^{'} = 0.4$ 米，另一端 $B$ 恰好移动到厂房的另一墙脚 $E$ ，求 $B E$ 的长.

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24. 某公司的饮水机在水温为20℃时开机加热，加热时每分钟上升20℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温 $y$ （℃）与开机后用时 $x$ （min）成反比例关系，如图所示，直至水温降至20℃，饮水机关机（这是一个加热周期），饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.

(1)、将水从20℃加热到100℃需要min；在图15中的水温下降的过程中，求水温 $y$ 与开机后用时 $x$ 的函数解析式（不写自变量 $x$ 的取值范围）；

(2)、在一个加热周期中，求水温不低于40℃的时长；

(3)、王经理去接水时看到饮水机的水温刚好降到50℃，若他想接到60℃的水（在不打断加热周期的情况下），请直接写出他至少还要等待多长时间？

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25. 如图，直线 $y = 2 x + 6$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， m)$ ， $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ .

(1)、求 $m$ 的值和反比例函数的解析式；

(2)、在 $y$ 轴上有一动点 $P (0 ， n)$ （ $n \neq 0$ ），过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交反比例函数的图象于点 $M$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ ，连接 $C M$ .
①若点 $M$ 到 $y$ 轴的距离小于4，求 $n$ 的取值范围；
②当 $0 < n < 6$ 时，若 $S_{△ C M N} = \frac{1}{2} S_{△ C O D}$ ，求 $n$ 的值.

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26. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 以每秒1个单位长度的速度运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （ $0 < t < 14$ ）s.

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、如图2，当点 $P$ 在 $B C$ 上，过点 $P$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ .
①求证： $△ A B C ∽ △ P D C$ ；
②当 $∠ B A P = 45 °$ 时，求 $P D$ 的长；

(3)、设点 $P$ 移动的路程为 $x$ ，当 $0 < x ≤ 6$ 及 $6 < x < 14$ 时，分别求点 $P$ 到直线 $A C$ 的距离；（用含 $x$ 的式子表示）

(4)、过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A P$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ .当 $C Q = \frac{5}{4}$ 时，请直接写出 $t$ 的值.

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