河北省唐山市丰南区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-01-05 类型：期中考试

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一、精心选一选（本大题共16小题.1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - \frac{1}{2}$ 的顶点是（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(1 ， \frac{1}{2})$

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3. 把一元二次方程 ${(x + 3)}^{2} = x (3 x - 1)$ 化成一般形式，正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 7 x - 9 = 0$ B、 $2 x^{2} - 5 x - 9 = 0$ C、 $4 x^{2} + 7 x + 9 = 0$ D、 $2 x^{2} - 6 x - 10 = 0$

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4. 用配方法解方程 $4 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ B、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{16}$ D、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{5}{16}$

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5. 设方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个根为 $α$ ， $β$ ，那么 $α + β$ 的值等于（）

A、-2 B、1 C、-1 D、2

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6. 将 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} - 13$ B、 $y = {(x - 5)}^{2} - 5$ C、 $y = {(x - 5)}^{2} - 13$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 5$

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7. 某纪念品原价168元，连续两次降价 $a %$ 后售价为128元；下列所列方程正确的是（）

A、 $160 {(1 + a %)}^{2} = 128$ B、 $160 {(1 - a %)}^{2} = 128$ C、 $160 {(1 - 2 a %)}^{2} = 128$ D、 $160 (1 - a %) = 128$

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8. 二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如表则一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的解为（）
$x$
.…
-2
-1
0
1
2
4
…
$y$
…
5
0
-3
-4
-3
5
…

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 5$

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9. 如图，一块长方形绿地的长为 $100 m$ ，宽为 $50 m$ ，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为 $4704 m^{2}$ ，则根据题意可列出方程（）

A、 $5000 - 150 x = 4704$ B、 $5000 - 150 x - x^{2} = 4704$ C、 $5000 - 150 x + \frac{x^{2}}{2} = 4704$ D、 $(100 - x) (50 - x) = 4704$

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，旋转角为 $a (0 ° < a < 90 °)$ .若 $∠ 1 = 110 °$ ，则 $α =$ （）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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11. 若 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为 $x = 1$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a b > 0$ B、 $b = 2 a$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、 $a + c < b$

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13. 如图， $4 \times 4$ 的正方形网格中， $△ M N P$ 绕某点旋转一定的角度，得到 $△ M_{1} N_{1} P_{1}$ ，其旋转中心是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 5$ 的一个根是2，且二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 2$ ，则这条拋物线的顶点坐标为（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(5 ， 2)$

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16. 已知一次函数 $y_{1} = k x + m (k \neq 0)$ 和二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 部分自变量和对应的函数值如下表：当 $y_{2} > y_{1}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是（）
$x$
…
-1
0
2
4
5
…
$y_{1}$
…
0
1
3
5
6
…
$y_{2}$
…
0
-1
0
5
9
…

A、 $- 1 < x < 2$ B、 $4 < x < 5$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 4$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 5$

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二、细心填一填（本大题共4小题，共12分）把答案直接写在题中的横线上.

17. 一元二次方程 $3 x^{2} = x$ 的根是.

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18. 九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书.如果设全组共有 $x$ 名同学，依题意，可列出的方程是.

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19. 若二次函数y＝x²+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是.

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20. 如图，线段 $A B$ 的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后， $A$ 、 $B$ 的坐标分别是 $(- 1 ， 0)$ ， $(- 3 ， 3)$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°后得到 $A B_{1}$ .则点 $B_{1}$ 关于原点的对称点的坐标是.

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三、专心解一解（本题满分66分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程.

21. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 的两个实数根，且（在A，B中任选一个条件解答下列问题）
A： $x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1} - x_{2} = 115$
B： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} - 6 x_{2} + k^{2} + 2 k - 121 = 0$

(1)、求 $k$ 的值：

(2)、解此方程.

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22. 在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出以 $C_{1}$ 为旋转中心，将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 顺时针旋转90°后的 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ；

(3)、连接 $A_{1} A_{2}$ ，则 $△ C_{1} A_{1} A_{2}$ 是三角形， $△ C_{1} A_{1} A_{2}$ 的面积是.

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23. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 图象经过点 $A (1 ， 4)$ 和点 $C (0 ， 3)$ .

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、结合函数图象，直接回答下列问题：
①当 $- 1 < x < 2$ 时，函数 $y$ 的取值范围：.
②当 $y \geq 0$ 时， $x$ 的取值范围：.
③方程 $a x^{2} + 2 x + c = 3$ 的解为：.

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24. 某商品交易会上，一店铺将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件.该店铺想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件.

(1)、当售价定为多少元时，每天的利润为140元？

(2)、商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元？

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25. 如图1， $O$ 是等边三角形 $A B C$ .内一点，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，且 $O A = 3 O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将 $△ B A O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转后得到 $△ B C D$ ，连接 $O D$ .

(1)、
填空：①旋转角为°；②线段 $O D$ 的长是；③ $∠ B D C =$ °；

(2)、如图2， $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ A B C = 90 °$ ， $B A = B C$ .连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，将 $△ B A O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转后得到 $△ B C D$ ，连接 $O D$ .当 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 满足什么条件时， $∠ B D C = 135 °$ ?请说明理由.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $O C = 2 O A$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ .直线 $y = m x + n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点.

(1)、求拋物线及直线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $F A + F C$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $F A + F C$ 的最小值；

(3)、若点 $P$ 是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点 $P$ 为直角顶点的 $R t △ A P C$ ，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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$x$	.…	-2	-1	0	1	2	4	…
$y$	…	5	0	-3	-4	-3	5	…

$x$	…	-1	0	2	4	5	…
$y_{1}$	…	0	1	3	5	6	…
$y_{2}$	…	0	-1	0	5	9	…