上海市闵行区六校联考2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-05 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD ：BD=2：3，那么下列条件中能够判断DE//BC的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{5}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{A E}{A C} = \frac{2}{5}$

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2. 给出下列四个命题，其中真命题有（）
等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形（3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S₁、S₂、S₃、S₄ ，那么下列结论中，不正确的是（）

A、S₁=S₃ B、S₂=2S₁ C、S₂=2S₄ D、 $S_{1}^{} \cdot S_{3}^{} = S_{2}^{} \cdot S_{4}^{}$

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二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

4. 如果 $3 a = 5 b$ ，那么 $\frac{a - b}{b} =$ .

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5. 已知：点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，若AB＝10，则AP＝.

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6. 已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为．

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7. 已知，向量 $\overset{\leftrightarrow}{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反且长度为5，那么用 $\vec{e}$ 表示向量 $\overset{\leftrightarrow}{a}$ = ．

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8. 如图，已知 $l_{1}^{} / / l_{2}^{} / / l_{3}^{}$ ， $C H = 6$ cm， $D H = 8$ cm， $A B = 12$ cm，那么 $B G =$ cm．

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9. 已知在 $△ A B C$ 中， $t a n A = \frac{4}{3}$ ，那么 $s i n A =$ .

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10. 如图，已知在△ $A B C$ 中， $P$ 是边 $A B$ 上的一点，连结 $C P$ .当满足条件时，△ $A B C$ ∽△ $A C P$ （写一个即可）.

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11. 如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是米．

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12. 如图，△ $A B C$ 中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC=12，AE=4，则BC= ．

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13. 边长为2的等边三角形的重心到边的距离是．

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14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，连接DB，那么 $t a n$ ∠ $D B C$ 的值是．

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15. 如图，△ABC是面积为的等边三角形，△ADE∽△ABC，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积是.

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三、简答题（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分）

16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O， $A O ： O C = 1 ： 2$ ．

(1)、设 $\vec{A B} =$ $\overset{\leftrightarrow}{a}$ ， $\vec{A D} =$ $\overset{\leftrightarrow}{b}$ ，试用向量 $\overset{\leftrightarrow}{a}$ 、 $\overset{\leftrightarrow}{b}$ 表示向量 $\overset{\leftrightarrow}{O D}$ ；

(2)、先化简，再求作： $(\frac{7}{2} \vec{a} + \vec{b}) - \frac{3}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ （直接作在图中）

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17. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°， $s i n A = \frac{3}{5}$ ， AB=14，BD是AC边上的中线．

(1)、求△ABC的面积；

(2)、求∠ABD的余切值．

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18. 已知：如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．

(1)、求坡顶A到地面PQ的距离；

(2)、计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

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19. 如图，已知在△ABC中，点E、F在边BC上．

(1)、如果△AEF是等边三角形，且∠BAC = 120°，求证：△ABE∽△ACF；

(2)、如果AB = AC， $A E^{2} = E F \cdot E C$ ，求证： $\frac{B F}{C E} = \frac{A F^{2}}{A E^{2}}$ ．

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20. 如图，在等腰直角△ $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，已知 $A (1 ， 0)$ 、 $B (0 ， 3)$ ， M为 $B C$ 中点．

(1)、求点 $C$ 的坐标：

(2)、求 $∠ M O A$ 的大小；

(3)、在x轴上是否存在点 $P$ ，使得以 $O 、 P 、 M$ 为顶点三角形与△ $O B M$ 相似，若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在菱形ABCD中，BC=10，E是边BC上一点，过点E作EH⊥BD，垂足为点H，点G在边AD上，且GD=CE，联结GE，分别交BD、CH于点M、N.

(1)、已知 $s i n ∠ D B C = \frac{3}{5}$ ，
①当EC=4时，求△BCH的面积：②当 $C H = H M + 1$ 时，求CE的值；

(2)、延长AH交边BC于点P，当设CE=x，请用含x的代数式表示 $\frac{H P}{C N}$ 的值.

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