2023~2024学年中考数学重难点突破之圆动点相关题型

试卷更新日期：2024-01-04 类型：三轮冲刺

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一、线圆最值（定弦定角）

1. 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， E为边 $A B$ 上一动点，连接 $C E$ ，过点B作 $B F ⊥ C E$ 于F，连接 $A F$ ，则 $A F$ 的最小值为．

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3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF ，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为．

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4. 如图所示， $P$ 为矩形 $A B C D$ 中 $A D$ 边上的一点，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，若点 $M$ 在矩形 $A B C D$ 内部，且 $∠ D M C = 120 °$ ，则 $B P + P M$ 的最小值为．

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5. 如图， $∠ A = ∠ B = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，点 $C$ ， $D$ 分别在 $∠ A$ ， $∠ B$ 的另一边上运动，并保持 $C D =$ 2，点 $M$ 在边 $B C$ 上， $B M = 2$ ，点 $N$ 是 $C D$ 的中点，若点 $P$ 为 $A B$ 上任意一点，则 $P M + P N$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $2 \sqrt{5} - 1$

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6. 如图，点G是 $△ A B C$ 内的一点，且 $∠ B G C = 120 °$ ， $△ B C F$ 是等边三角形，若 $B C = 3$ ，则 $F G$ 的最大值为．

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7. 如图， $A B ， A C$ 分别是半圆O的直径和弦， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作 $C E ⊥ A D$ 于E，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{13} - 2$ B、 $\sqrt{13} - 3$ C、2 D、3

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8. 如图，直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，AC=8， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 $B P$ ，则 $B P$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{7} - 4$ B、 $2 \sqrt{31} - 8$ C、 $4 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{183} - \frac{8}{3} \sqrt{3}$

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9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足 $\frac{B F}{A E} = \frac{A D}{A B}$ ．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为（）

A、2 $\sqrt{10}$ －3 B、2 $\sqrt{10}$ －2 C、5 D、3

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $F$ 在边 $A C$ 上，且 $C F = 2$ ，点E为射线 $C B$ 上一动点，连接 $E F$ ．将 $△ C E F$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点C落在点P处，连接 $A P$ ， $B P$ ，则 $△ A P B$ 的面积最小值为（）

A、3 B、6 C、 $\frac{24}{5}$ D、12

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11. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将 $△ A E F$ 沿EF所在直线翻折，得到 $△ A' E F$ ，则 $A' C$ 的长的最小值是 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{13} - 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A D$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，过 $D$ 作 $E F$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、当 $A E = \sqrt{3} - 1$ 时， $∠ B F E =$ $° .$

(2)、当 $E$ 在 $A D$ 上运动时， $C H$ 的最小值为．

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13. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 与x轴交于点 $A (5 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点 $B (1 ， m)$ 是抛物线上一点，点C是线段 $A B$ 上一点，连接 $O C$ 并延长交抛物线于点D ，若 $\frac{O C}{C D} = \frac{5}{4}$ ，求点D的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点P ，使得 $∠ O P A = 45 °$ ？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．

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二、瓜豆原理（种瓜得瓜，种豆得豆）

14. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， $\frac{C F}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15. 如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB＝2，则线段OQ的最大值为．

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16. 如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（）

A、2 $\sqrt{13} +$ 2 B、2 $\sqrt{13} -$ 2 C、4 $\sqrt{3} +$ 2 D、4 $\sqrt{3} -$ 2

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17. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (8 ， 0)$ 、点 $B (0 ， 6)$ ， $⊙ A$ 的半径为5，点C是 $⊙ A$ 上的动点，点P是线段 $B C$ 的中点，那么 $O P$ 长的取值范围是．

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18. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ；

(1)、如图1，已知 $∠ D = 30 °$ ，直接写出 $∠ A + ∠ C$ 的度数；

(2)、如图2，已知 $∠ A D C = 30 °$ ， $A D = 3$ ， $C D = 4$ ，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长度；

(3)、如图3，已知 $∠ A D C = 75 °$ ， $B D = 6$ ，请判断四边形 $A B C D$ 的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．

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19. 如图，抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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20. 如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则 $△ B C D$ 的面积的最大值为（）

A、4 $\sqrt{3}$ ＋4 B、4 C、4 $\sqrt{3}$ ＋8 D、6

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三、阿氏圆（相似构造）

21. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ， D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 $\frac{P B}{P C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{13 - 1}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13 + 1}}{4}$

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22. 如图，在矩形ABCD中，AB=3， $A D = \sqrt{3}$ ，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上的一个动点，连接AP交BD于点T，则 $\frac{A P}{A T}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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23. 正方形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{2}$ ，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为.

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