广东省广州市2023-2024学年高三上学期数学12月调研测试试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数z满足z+ $\bar{z}$ =2，z- $\bar{z}$ =-4i，则|z|=（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2. 已知集合M={x|y=In(1-2x)}，N={y|y=e^x}，则M∩N=（）

A、（0， $， \frac{1}{2}$ ） B、（ $- \infty$ ， $\frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ， + $\infty$ ） D、∅

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3. 已知向量 $\vec{a}$ (-2，4)， $\vec{b}$ =(1，1)，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则向量 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 在向量 $\vec{j}$ =(0，1)上的投影向量为（）

A、 $\vec{j}$ B、 $- \vec{j}$ C、 $2 \vec{j}$ D、 $- 2 \vec{j}$

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4. 已知函数 $f (x) = a + \frac{b}{3^{x} - 1}$ （ab≠0）是奇函数，则（）

A、2a+b=0 B、2a-b=0 C、a+b=0 D、a-b=0

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5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…….记各层球数构成数列{a_n}，且{a_n+1-a_n}为等差数列，则数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ }的前100项和为（）

A、 $\frac{99}{100}$ B、 $\frac{100}{101}$ C、 $\frac{99}{50}$ D、 $\frac{200}{101}$

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6. 直线l：y=kx-2与圆C：x²+y²-6x-7=0交于A，B两点，则|AB|的取值范围为（）

A、［ $\sqrt{7}$ ， 4］ B、［2 $\sqrt{7}$ ， 8］ C、［ $\sqrt{3}$ ， 4］ D、［2 $\sqrt{3}$ ， 8］

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7. 已知0＜β＜α＜ $\frac{π}{2}$ ， cos（α+β）= $\frac{1}{5}$ ， sin（α-β）= $\frac{3}{5}$ ，则tanαtanβ的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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8. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3}$ x³-ax²+x+1在区间（0，2）上存在极小值点，则a的取值范围为（）

A、（1， $\frac{5}{4}$ ） B、［1， $\frac{5}{4}$ ） C、［ $\frac{5}{4}$ ， 2） D、（1，+ $\infty$ ）

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位：kW·h)，将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图，则（）

A、图中a的值为0.015 B、样本的第25百分位数约为217 C、样本平均数约为198.4 D、在被调查的用户中，用电量落在［170，230)内的户数为108

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10. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ - $\frac{y^{2}}{2}$ =1（a＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线l与双曲线E的右支相交于P，Q两点，则（）

A、若E的两条渐近线相互垂直，则a= $\sqrt{2}$ B、若E的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则E的实轴长为1 C、若∠F₁PF₂=90°，则|PF₁|·|PF₂|=4 D、当a变化时，△F₁PQ周长的最小值为8 $\sqrt{2}$

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11. 已知点P（ $\frac{3 π}{8}$ ， 1）是函数 $f (x) = \sin （ ω x + \frac{π}{4} ）$ +b（ $ω$ ＞0）的图象的一个对称中心，则（）

A、 $f (x - \frac{3 π}{8})$ -1是奇函数 B、 $ω$ =- $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{8}$ k，k∈N* C、若 $f (x)$ 在区间（ $\frac{3 π}{8}$ ， $\frac{11 π}{8}$ ）上有且仅有2条对称轴，则 $ω$ =2 D、若 $f (x)$ 在区间（ $\frac{π}{5}$ ， $\frac{2 π}{5}$ ）上单调速减，则 $ω$ =2成 $ω$ = $\frac{14}{3}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M，N，P分别是棱C₁D₁ ， AA₁ ， BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB₁与直线DB₁的夹角为30°，则（）

A、DB₁⊥平面PMN B、平面PMN截正方体所得的截面面积为3 $\sqrt{3}$ C、点Q的轨迹长度为π D、能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF⊥x轴，若△OFM(O为坐标原点)的面积为2，则P=.

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14. (2x²+x-y)⁵的展开式中x⁵y²的系数为(用数字作答).

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15. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，PC⊥平面ABC，PC=BC= $\sqrt{6}$ ， AB=2 $\sqrt{6}$ ，且PA与平面ABC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则该球的表面积为.

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16. 已知函数f(x)=e^2x-2a(x-2)e^x-a²x²(a>0)恰有两个零点，则a=.

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四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n=2a_n-1.

(1)、求数列{a_n}的通项公式：

(2)、若数列{b_n}满足b_n= $\{\begin{matrix} \log_{2} a_{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，求数列{b_n}的前2n项和T_2n·

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，三棱锥B-PAD的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求点P到平面ABCD的距离；

(2)、若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，AN=2NP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.

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19. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b $\sin B$ +c $\sin C$ -a $\sin A$ =2b $\sin B \sin C$ ，且C≠ $\frac{π}{2}$

(1)、求证：B=A+ $\frac{π}{2}$

(2)、求cosA+sinB+sinC的取值范围.

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20. 已知函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax.

(1)、当a=0时，求曲线y=f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、当-1<x<0时，f(x)<0，求a的取值范围

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21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.

(1)、甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；

(2)、为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒?

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22. 在平面直角坐标系xOy中，点F(- $\sqrt{3}$ ， 0)，点P(x，y)是平面内的动点. 若以PF为直径的圆与圆O：x²+y²=4内切，记点P的轨迹为曲线E.

(1)、求E的方程；

(2)、设点A(0，1)，M(t，0)，N(4-t，0)(t≠2)，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T(S.T异于A)，AH⊥ST，垂足为H，求|OH|的最小值.

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