浙江省温州市乐清市2023-2024学年九年级（上）数学期中试卷

试卷更新日期：2024-01-04 类型：期中考试

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一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 下列事件为必然事件的是（）

A、明天是雨天 B、任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次 C、三角形三个内角的和等于 $18 0^{°}$ D、两个数的和为负数

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2. 已知⊙O的半径为5cm，点A在⊙O内，则OA的长度可能是（）

A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm

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3. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

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4. 把抛物线y＝x²的图象先向左平移5个单位，再向下平移1个单位所得的解析式为（）

A、y＝（x﹣5）²+1 B、y＝（x﹣5）²﹣1 C、y＝（x+5）²+1 D、y＝（x+5）²﹣1

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5. 从下列标志图中任选一张，选中既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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6. 某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝ $\frac{1}{20} x^{2}$ （x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）

A、40m/s B、20m/s C、10m/s D、5m/s

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7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，连结AE，若AC⊥DE于点H，∠AED=20°，则旋转角∠ACE为（　　）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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8. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（　　）

A、100° B、110° C、125° D、130°

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9. 二次函数y＝ax²+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：
x
…
0
$\frac{1}{2}$
1
2
3
4
…
y
…
4
5
4
﹣4
﹣20
﹣44
…
则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（）

A、﹣45 B、﹣20 C、﹣4 D、0

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10. 阿基米德折弦定理：如图1，AB与BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，点M是 $\hat{A B C}$ 的中点，MN⊥AB于点N，则点N是折弦ABC的中点，即AN＝BN+BC．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形ABCD， AB＞BC，点M是 $\hat{A B C}$ 的中点， MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为20，则线段BN的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{26} - \sqrt{6}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）

11. 抛物线y＝（x﹣7）²﹣4的对称轴是直线x＝．

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12. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
150
200
投中次数
15
33
47
65
95
120
160
投中的频率
0.75
0.83
0.78
0.81
0.79
0.8
0.8
估计小萌投一次篮，投中的概率是

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13. 若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为．

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14. 如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则还需将个三角形涂黑．

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15. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠DCE=20°，则∠DAB＝．

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16. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x + k$ 的图象与 $x$ 轴无交点，则 $k$ 的取值范围是

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17. 如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax²（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为 $\sqrt{2}$ ，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15° ，则a的值是．

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18. 如图，抛物线y＝x²﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是．

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三、解答题（本题共有6小题，共46分，解答题需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

19. 已知：如图，在⊙O中，AB与CD相交于点M，AD=CB．
求证：AM=CM．

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20. 2023年9月23日第19届亚运会在杭州举办．现有三种亚运会吉祥物玩偶供志愿者抽奖选择，它们分别是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．在一个不透明的箱子中放入4个大小材质均相同的小球，其中有3个球上分别写有“宸”、“琮”、“莲”，志愿者从箱子中摸出一个球，若有字则能获得相应的吉祥物玩偶．

(1)、获得吉祥物玩偶的概率是．

(2)、取出分别写有“宸”、“琮”、“莲”三个有字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，放回，再从中取出一个球，求两次取出的球写有相同字的概率．（请用列表或树状图分析）

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21. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（-1，1），B（-1，3）．

(1)、画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后所得的图形△A₁OB₁；

(2)、求出此过程中线段BO扫过图形的面积（结果保留π）．

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22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，点D为 $\hat{A C}$ ，连结OD交AC于点E．

(1)、求证：OD∥BC．

(2)、若AC＝8，DE＝2，求BC长．

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23. 根据以下素材，探索完成任务

确定文具套餐售价
素材1	某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套．
素材2	该文具套装的成本是10元/套．
素材3	为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构．

问题解决：

(1)、任务1：分析变量分析

求y关于x的函数表达式．

(2)、任务2：计算月利润

当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？

(3)、任务3：确定合理售价

为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值．

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24. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D₁ ．
①当点D₁刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD₁ ， DD₁ ，是否存在点P，使△PDD₁为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在

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投篮次数	20	40	60	80	120	150	200
投中次数	15	33	47	65	95	120	160
投中的频率	0.75	0.83	0.78	0.81	0.79	0.8	0.8

x	…	0	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	4	5	4	﹣4	﹣20	﹣44	…