浙江省杭州市萧山区2023-2024学年九年级第一学期数学学科学习能力诊断卷(一)试卷

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 若非零实数x，y满足y=2x，则x∶y等于（）

A、1∶2 B、2∶1 C、-1∶2 D、-2∶1

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2. 下列说法中正确的是（）

A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C、“概率为0.000001的事件”是不可能事件 D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次

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3. 将抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = 2 (x + 3)^{2} + 3$ B、 $y = 2 (x + 3)^{2} - 3$ C、 $y = 2 (x - 3)^{2} + 3$ D、 $y = 2 (x - 3)^{2} - 3$

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4. $12 0^{°}$ 圆心角所对的弧长是 $6 π$ ，则此弧所在圆的半径是（）

A、3 B、4 C、9 D、18

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5. 某校要举办元旦文艺会演，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台AB的长为 $20 m ， C$ 为AB的一个黄金分割点 $(A C < B C$ )，则BC的长为（结果精确到0.1m）（）

A、7.6m B、10m C、6.7m D、12.4m

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6. 在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为 $6 c m^{2}$ ，则这块多边形地区的实际面积为（）

A、 $6 m^{2}$ B、 $60000 m^{2}$ C、 $600 m^{2}$ D、 $6000 m^{2}$

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7. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， ∠ C = 4 5^{°} ， A B = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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8. 关于函数 $y = a x (x - m) (a > 0)$ 的下列说法中，错误的是（）

A、当 $x = \frac{m}{2}$ 时，函数有最小值 B、当 $x ⩾ \frac{m}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、对称轴为直线 $x = \frac{m}{2}$ D、图象与 $x$ 轴必有两个交点

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9. 如图，在四边形ABCD中， $A B = A C = A D$ ，若 $∠ B A C = 4 0^{°}$ ，则 $∠ B D C$ 为（）

A、 $1 8^{°}$ B、 $1 5^{°}$ C、 $2 0^{°}$ D、 $3 0^{°}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AB为直径作圆，交BC于点 $D$ ，延长CA交圆于点 $E$ ，连结DE，交AB于点 $F$ .若 $A F ： B F = 1 ： 4$ ，则EF：DF的值为（）

A、3：5 B、2：3 C、3：4 D、1：2

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二、填空题(本大题有6个小题,每小题4分,共24分)

11. 正五边形的内角和是度.

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12. 已知二次函数y=ax²+bx+c的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 之间满足下列数量关系：
$x$
0
2
4
5
$y = a x^{2} + b x + c$
-4
$- \frac{10}{3}$
$- \frac{10}{3}$
m
则 $m$ 0(填“>”或“＜”）.

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13. 某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛，七、八年级各有一名同学进人决赛，九年级有两名同学进人决赛.前两名都是九年级同学的概率是.

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14. 已知 $x = 2 m + n + 2$ 和 $x = m + 2 n$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x + 6$ 的值相等，则当 $x = m + n$ 时，多项式的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AB为直径作半圆，交BC于点 $E$ ，交AC于点 $D$ .若 $C D = 2 ， C E = 3$ ，则AB的长为.

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16. 已知一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点，把这两点分别与底边的中点相连，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)各边的长度，经测量依次为2cm，3cm，3cm，4cm，那么原三角形的底边长为.

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三、解答题(本大题有8个小题,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 计算： $\sqrt{8} - （ - 1 ）^{2023} - | - 3 | + （ \frac{1}{2} ）^{- 2}$ .

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18. 已知二次函数y=ax²(a≠0)的图象过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，有下列点： $(- 1 ， \frac{3}{2}) ， (1 ， - \frac{3}{2}) ， (2 ， 6) ， (\sqrt{2}$ ， 3).其中哪些点在图像上?请说明理由.

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19. 如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成A，B两个区域，甲转盘中A区域的圆心角是120°，乙转盘中A区域的圆心角是90°，自由转动转盘(如果指针指向区域分界线则重新转动).

(1)、转动甲转盘一次，求指针指向A区域的概率.

(2)、自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向B区域的概率.

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20. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，G是 $\overset{⌢}{A C}$ 上任意一点，连结AD，AG，GD.

(1)、找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明.

(2)、若 $\overset{⌢}{G C}$ 等于 $\overset{⌢}{C B}$ ，且 $C D = A G$ ，求 $∠ G$ 的度数.

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21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1 ， △ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都在方格纸的格点上.

(1)、判断 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是否相似，并说明理由.

(2)、 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ 是 $△ D E F$ 边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 $△ P_{3} P_{4} E$ 相似(要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由).

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22. 有一块形状如图的四边形余料 $A B C D ， A B = B C = C D = 4$ ，测得 $∠ B = 9 0^{°} ， ∠ C = 6 0^{°}$ .要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AB上，并使截得的面积尽可能大.

(1)、若所截矩形材料的一个顶点恰好为D，求该矩形材料的面积.

(2)、能否截出比(1)中面积更大的矩形材料? 如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由.

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23. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - m x + m^{2}$ 经过点 $P (2 ， k)$ .请解决下列问题：

(1)、点 $A (a ， n) ， B (b ， n)$ 分别落在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - m x + m^{2}$ 上，且 $a + b = 4$ ，求 $k$ 的值.

(2)、当 $- 2 ⩽ m ⩽ 1$ 时，
①求 $k$ 的取值范围.
②若 $- 2 ⩽ x ⩽ 1 ， y_{最大} - y_{最小} = 4$ ，求 $m$ 的值.

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24. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为圆上的一点(异于点A，B $) ，$ D为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，AD，BC相交于点 $P$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交BC于点 $F$ .

(1)、证明： $B F = D F$ .

(2)、猜想BC与2DE有怎样的数量关系，并证明你发现的结论.

(3)、如图2，连结AC，BD，若 $\frac{B D}{A C} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{P D}{A P}$ 的值.

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$x$	0	2	4	5
$y = a x^{2} + b x + c$	-4	$- \frac{10}{3}$	$- \frac{10}{3}$	m