浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上册数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如果 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a}{a + b} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 袋子中装有2个白球，5个红球，3个黄球，任意摸出一个球，是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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3. 如图，在 $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $D C$ 的延长线上．若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B C E$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $100 °$ C、 $130 °$ D、 $50 °$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，若 $S_{△ A B C} = 9$ ，则 $S_{四边形 B C E D}$ 等于（）

A、6 B、8 C、7 D、5

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5. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 6$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} + 6$

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6. 如图所示，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 7$ ， $A D = 3$ ， $B C = 4$ ，若 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，则符合条件的点 $P$ 个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + c$ 经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则该抛物线必然还经过点（）

A、 $(- 1 ， - 2)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(5 ， 2)$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C、D、E在 $⊙ O$ 上，若 $∠ D C B = 115 °$ ， $∠ E A B = 55 °$ ，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，则 $E D$ 为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $C D$ 上的点， $A E = C F$ ，连接 $E F$ 、 $B F$ ， $E F$ 与对角线 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B E = B F$ ， $∠ B E F = 2 ∠ B A C$ ， $F C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $C$ ， $A C$ ， $D O$ 交于点 $E$ ，已知 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $C D ： B C = 2 ： \sqrt{5}$ ，则 $C E ： A E$ 的值为（）

A、 $2 ： \sqrt{5}$ B、 $4 ： 5$ C、 $\sqrt{5} ： 2 \sqrt{2}$ D、 $5 ： 8$

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二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 将二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 8$ 用配方法化成 $y = (x - h)^{2} + k$ 的形式为y= ．

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12. 在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是个．

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13. 扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于cm² ．

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14. 如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，若桥拱圆弧的半径长为 $r$ ，拱高为 $h$ ，则桥跨度 $d$ 为（用含r、h的代数式表示）

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15. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 $G$ 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 $F I$ 的长.

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16. 抛物线 $y = 2 x^{2} - a x + m - a$ 与 $x$ 轴相交于不同两点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，若存在整数 $a$ 及整数 $m$ ，使得 $1 < x_{1} < 3$ 和 $1 < x_{2} < 3$ 同时成立，则 $m =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、已知线段 $a = 2 ， b = 6$ ，求线段a ， b的比例中项线段c的长．

(2)、已知 $x ： y = 3 ： 2$ ，求 $\frac{2 x - y}{x}$ 的值．

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18. 已知二次函数图象的顶点坐标是 $(1 ， - 4)$ ，且经过点 $(0 ， - 3)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、若点 $B (m ， 12)$ 在该函数图象上，求点 $B$ 的坐标．

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19. 为了更好的感受中考考法，精准备考，学生 $L$ 和学生 $H$ 两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D ，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．

(1)、他们都选择“2023”的概率为；

(2)、请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以腰 $A B$ 为直径画半圆 $O$ ，分别交 $B C$ ， $A C$ 于点D ， E ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，求阴影部分弓形的面积．

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21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)、求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C > 90 °$ ，它的外角 $∠ E A C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点D ，连接 $D B ， D C ， D B$ 交 $A C$ 于点F ．

(1)、若 $∠ E A D = 75 °$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数．

(2)、求证： $D B = D C$ ．

(3)、若 $D A = D F$ ，当 $∠ A B C = α$ ，求 $∠ D F C$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为点 $B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、点 $D$ 为直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $B C$ ， $C D$ ，设直线 $B D$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ， $△ C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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24. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．

(1)、探索发现：
图1中， $\frac{A B}{B C}$ 的值为， $\frac{A D}{B E}$ 的值为．

(2)、拓展探究
若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中 $\frac{A D}{B E}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)、问题解决
当△CDE旋转至A ， D ， C三点共线时，直接写出线段BE的长．

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