河北定州市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题（每题5分）

1. 已知 $m \in R$ ，则“ $- 2 < m < 6$ ”是“曲线 $\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{4}{9} x$

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3. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\bar{D_{1} M} = x \bar{A B} + y \bar{A D} + z \bar{A A_{1}}$ ，则有序实数组 $(x ， y ， z) =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 1)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 1)$

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4. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $A (3 ， 0 ， 1)$ 为直线 $l$ 上一点，若点 $P (4 ， 3 ， 0)$ 为直线 $l$ 外一点，则 $P$ 到直线 $l$ 上任意一点 $Q$ 的距离的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. 若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n + 1} = c_{n}^{2}$ 则称 ${c_{n}}$ 为“平方递推数列”.已知数列 ${a_{n}}$ 是“平方递推数列”，且 $a_{1} > 0$ ， $a_{1} \neq 1$ ，则（）

A、 ${l g a_{n}}$ 是等差数列 B、 ${l g a_{n + 1} - l g a_{n}}$ 是等差数列 C、 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 是“平方递推数列” D、 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 是“平方递推数列”

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6. 已知抛物线的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，过其焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ， $| A B | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、3 C、 $\frac{16}{3}$ D、2

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7. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $B$ ， $C$ 的准线与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $P$ 是 $C$ 上的动点，则 $\frac{| P A |}{| P B |}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = b^{2} (b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，若在双曲线 $C_{2}$ 上存在一点 $P$ ，使得过点 $P$ 所作的圆 $C_{1}$ 的两条切线，切点为 $A$ 、 $B$ ，且 $∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{5}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$

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二、多选题（每题5分，答错0分，漏选得2分）

9. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0.1)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (2 ， 4 ， - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ， $n \in N_{+}$ ，则（）

A、 $a_{2023} = 2$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + ⋯ + a_{2022} a_{2033} = - 1011$

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11. 已知圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： (m + 1) x + 2 y - 1 + m = 0 (m \in R)$ .则（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(1 ， - 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 有两个交点 C、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上恰有四个点到直线 $l$ 的距离等于1 D、若 $a = 8$ ，则圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + a = 0$ 恰有三条公切线

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，在第一象限的交点为 $P$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\frac{e_{1}}{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{m}{a} = \frac{1}{2}$ B、若 $\frac{e_{1}}{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{n}{b} = \frac{1}{2}$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{m}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{n}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2 n^{2} + n - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 关于 $x$ 的方程 $\sqrt{1 - x^{2}} - k x + k - 1 = 0$ 有两个不等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围为.

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16. 如图，棱长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $O$ 为底面 $A C$ 的中心，点 $P$ 在侧面 $B C_{1}$ 内运动且 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则点 $P$ 到底面 $A B C D$ 的距离与它到点 $B$ 的距离之和最小是.

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四、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 4}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 3$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ；

(2)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 2}}$ 是等差数列，并求 $a_{n}$ .

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18. 如图，在正四梭锥 $S - A B C D$ 中， $O$ 为顶点 $S$ 在底面 $A B C D$ 内的投影， $P$ 为侧梭 $S D$ 的中点，且 $S O = O D = 2$

(1)、证明： $S B / /$ 平面 $A C P$ ：

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A C P$ 的所成角的余弦值

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19. 已知圆 $C ： (x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，两点 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (- 5 ， 0)$ .

(1)、若 $r = 6$ ，直线 $l$ 过点 $B$ 且被圆 $C$ 所截的弦长为6，求直线 $l$ 的方程：

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P A |^{2} + | P B |^{2} = 10$ ，求圆 $C$ 半径 $r$ 的取值范围.

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20. 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M ， N ，过点M作x轴的垂线分别与直线OP ， ON交于点A ， B ，其中O为原点．

(1)、求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)、求证：A为线段BM的中点．

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21. 已知在四棱锥 $C - A B E D$ 中， $D E / /$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ ，点 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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22. 已知 $M$ 、 $N$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点，且 $| M N | = 4 + 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P$ 满足 $\bar{M P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{P N}$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $l_{1} ： 3 x - 2 y = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $G$ 为线段 $A B$ 上任意一点（不与端点重合），斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 经过点 $G$ ，与曲线 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $\frac{| E F |^{2}}{| G A | \cdot | G B |}$ 的值与点 $G$ 的位置无关，求 $| G E | ： | G F |$ 的值.

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