河北省邯郸市鸡泽县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 直线 $x + \sqrt{3} y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 30 °$ B、 $60 °$ C、 $150 °$ D、 $120 °$

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2. 若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， 2 ， 1)$ ， $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， - 1 ， 1)$ ， $A \notin α$ ， $B \in α$ ，则点 $A$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点，则异面直线 $C_{1} E$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与直线 $2 x - 5 y + n = 0$ 互相垂直，垂足为 $(1 ， p)$ ，则 $m + n - p$ 等于（）

A、0 B、4 C、20 D、24

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6. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = - 5$ ， $S_{6} = 21 S_{2}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $120$ B、 $85$ C、 $- 85$ D、 $- 120$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是该双曲线上一点且在第一象限内， $2 s i n ∠ P F_{1} F_{2} = s i n ∠ P F_{2} F_{1}$ ，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(2 ， 3)$

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8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： $x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是

A、① B、② C、①② D、①②③

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$ ，两个平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}$ ，则直线 $l / /$ 平面 $α$ B、若 $\vec{u} / / \vec{n_{1}}$ ，则直线 $l ⊥$ 平面 $α$ C、若 $c o s < \vec{u}$ ， $\vec{n_{1}} > = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ D、若 $c o s < \vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}} > = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则平面 $α$ ， $β$ 夹角的大小为 $\frac{π}{6}$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $H$ 为棱 $A A_{1} ($ 包含端点 $)$ 上的动点，下列命题正确的（）

A、二面角 $D_{1} - A B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ B、 $C H ⊥ B D$ C、若 $O$ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 内部，且 $| O B | = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $O$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、若 $C H ⊥$ 平面 $β$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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11. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} G$ 与直线 $D_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、点 $D_{1}$ 到 $A F$ 距离为 $\frac{3}{2}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 D、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{12}$

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12. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \geq 3$ C、 $a_{n + 1} \geq 3 n - 1$ D、 $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \frac{1}{a_{3} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{10} + 1} > \frac{1023}{1024}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2020$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ ，则 $S_{2022} =$ ．

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14. 如图从双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $b > a > 0$ ）的左焦点 $F$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F T$ ，交双曲线右支于 $P$ ，若 $M$ 为线段 $F P$ 的中点， $O$ 为原点，则 $| M O | - | M T |$ 的值为 $($ 用 $a$ 、 $b$ 表示 $)$ ．

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15. $2022$ 年卡塔尔世界杯会徽 $($ 如图 $)$ 近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系 $x O y$ 中，把到定点 $F_{1} (- a ， 0)$ 、 $F_{2} (a ， 0)$ 距离之积等于 $a^{2} (a > 0)$ 的点的轨迹称为双纽线 $C .$ 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双纽线 $C$ 上一点，下列说法中正确的是 $. ($ 填上你认为所有正确的序号 $)$
$①$ 双纽线 $C$ 关于原点 $O$ 中心对称；
$②$ 双纽线 $C$ 上满足 $| P F_{1} | = | P F_{2} |$ 的点 $P$ 只有 $1$ 个；
$③ - a \leq y_{0} \leq a$ ； $④ | P O |$ 的最大值为 $\sqrt{2} a$ ．

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16. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{t + 10} + \frac{y^{2}}{t - 15} = 1 (t > 15)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 在第一象限内有交点 $A$ ，且双曲线左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ， $∠ F_{1} F_{2} A = 12 0^{0}$ ，点 $P$ 是椭圆上任意一点，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知坐标平面上点 $M (x ， y)$ 与两个定点 $M_{1} (26 ， 1)$ ， $M_{2} (2 ， 1)$ 的距离之比等于 $5$ ．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)、记 $(1)$ 中的轨迹为 $C$ ，过点 $M (- 2 ， 3)$ 的直线 $l$ 被 $C$ 所截得的线段的长为 $8$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 6$ ．

(1)、记 $b_{n} = a_{n} - 3$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等比数列，并求 ${b_{n}}$ 的通顶公式 $；$

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $B C = C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 上一点， $A F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于 $B$ ， $| A B | = | F_{2} B |$ ， $| O B | = \frac{4}{3} (O$ 为坐标原点 $)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程 $；$

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别作 $x$ 轴的垂线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，椭圆 $C$ 的一条切线 $l ： y = k x + m (k \neq 0)$ 分别与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $M$ ， $N$ ，求证： $∠ M F_{1} N = ∠ M F_{2} N .$

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，线段 $A D$ 的中点为 $O$ 且 $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、点 $M$ 在棱 $P C$ 上，且直线 $B M$ 与底面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $M A B$ 与平面 $A B D$ 夹角的余弦值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，求点 $D$ 到平面 $M A B$ 的距离．

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22. 如图，已知椭圆G： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，设 $A (0 ， b)$ ， $P (- a ， 0)$ ， $Q (a ， 0)$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为正三角形且周长为6．

(1)、求椭圆G的标准方程；

(2)、若过点 $(1 ， 0)$ 且斜率为 $k (k \neq 0 ， k \in R)$ 的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使 $∠ M P O = ∠ N P O$ 成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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