河北省张家口市张垣联盟2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0} ， B = {- 5 ， - 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5}$ ，则 $A ∩ B$ 等于（）

A、 ${- 2 ， 1}$ B、 ${- 5 ， - 2 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{3 + 4 i}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限

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3. 已知数列 $1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{5} ， \sqrt{7} ， 3 ， \sqrt{11} ， ⋯$ ，则 $\sqrt{43}$ 是这个数列的（）

A、第21项 B、第22项 C、第23项 D、第24项

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4. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的底面边长是 $2 \sqrt{2}$ ，体积是 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，那么这个四棱锥的侧棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 等差数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 中的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 T_{n} ， \frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{4 n}{9 n + 3}$ ，则 $\frac{a_{10}}{b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{40}{93}$ B、 $\frac{38}{87}$ C、 $\frac{17}{42}$ D、 $\frac{32}{81}$

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6. 已知直三棱柱的所有棱长都为2，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与该球体积的比为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{28}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{9}$ D、 $\frac{28 \sqrt{21} π}{27}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $a$ 为 $b 、 c$ 的等差中项，则角 $A$ 最大值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 2} - b_{n + 1} = b_{n + 1} - b_{n} ， n \in N^{*}$ ，且 $b_{5} = \frac{π}{2}$ ，若函数 $g (x) = c o s x s i n x + c o s^{2} \frac{x}{2}$ ，记 $a_{n} = g (b_{n})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项和为（）

A、0 B、 $- \frac{9}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知 $α \cdot β$ 是两个不同平面， $m ， n$ 是两条不同直线，则下述正确的是（）

A、若 $m \subset α ， n \subset β ， α ∥ β$ ，则 $n ∥ m$ B、若 $β ∥ α ， n ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $m ∥ α ， n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ 或 $m ， n$ 异面 D、若 $β ⊥ α ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 已知数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $b_{2} ， b_{4} ， b_{8}$ 成等比数列 B、数列 $S_{2} ， S_{4} - S_{2} ， S_{6} - S_{4}$ 成等比数列 C、数列 $S_{3} ， S_{6} - S_{3} ， S_{9} - S_{6}$ 成等比数列 D、数列 $b_{1} \cdot b_{2} ， b_{3} \cdot b_{4} ， b_{5} \cdot b_{6}$ 成等比数列

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11. 已知 $g (x) = c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $y = g (x)$ 图象的一条对称轴 D、点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 是函数 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M ， E ， F ， G$ 分别为 $B_{1} C_{1} ， B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $h$ 则（）

A、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为18 B、直线 $A F$ 与平面 $A_{1} G M$ 平行 C、直线 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} G M$ 垂直 D、点 $M$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $2 h$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $a = (\frac{1}{2} ， 1) ， b = (- 2 ， 8)$ ，若实数 $λ$ 满足 $(a - λ b) ⊥ b$ ，则 $λ =$ ．

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14. 设等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{2} = \frac{1}{3} (S_{2} - 2) ， b_{4} = \frac{1}{3} (S_{4} - 2)$ ，则 $q =$ ．

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15. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， - n) ， \vec{b} = (\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 1) ， \vec{c} = (0 ， 1 ， - \frac{3}{2})$ 共面，则 $n =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若对任意 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，存在 $x_{1} \in (0 ， + \infty)$ 不等式 $\frac{f (x_{1})}{{x_{1}}^{2}} \cdot \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} \leq \frac{2 k}{k + 1} [{x_{2}}^{2} + 1]$ 恒成立，则正数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

17. 已知一圆锥的母线长为 $5 c m$ ，底面半径为 $3 c m$ ．

(1)、求圆锥的高及体积；

(2)、若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，设 $(s i n B - s i n C) (b - c) = a s i n A - b s i n C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{13} ， c = 3$ ，求 $A B$ 边上的高．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = 4$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $B C D$ 夹角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 ${(a_{n} - \frac{1}{2})}^{2} = (a_{n + 1} - \frac{1}{2}) \cdot (a_{n - 1} - \frac{1}{2})$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*} ）$ ， $a_{1} = 1 ， a_{4} = \frac{9}{16}$ ．求：

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、数列 ${a_{n} + 2 n}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{1}{2} S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $A_{n}$ ，数列 $b_{n} = 2 n a_{n} - a_{n} (n \in N^{*}) ， c_{n} + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{a_{n}}$ ， $(n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $T_{n}$ ；

(2)、若对任意 $n \in N^{*}$ ，存在 $x_{0} \in [- 1 ， 1]$ 使得 $A_{n} \leq 2 x_{0} - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $g (x) = (x^{2} + 1) \cdot e^{x} ， x \in R$

(1)、求函数 $y = g (x)$ 在 $(0 ， g (0))$ 处的切线方程．

(2)、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} > x_{2}$ 时，不等式 $\frac{| g (x_{1}) - g (x_{2}) |}{(e^{2 x_{1}} - e^{2 x_{2}})} < 2 m - 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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